Tikimybių pasiskirstymo funkcija vs tikimybės tankio funkcija
Tikimybė yra įvykio tikimybė. Ši idėja yra labai paplitusi ir dažnai naudojama kasdieniame gyvenime, kai vertiname savo galimybes, sandorius ir daugelį kitų dalykų. Išplėsti šią paprastą koncepciją į didesnį įvykių rinkinį yra šiek tiek sudėtingiau. Pavyzdžiui, mes negalime lengvai išsiaiškinti šansų laimėti loterijoje, bet patogu, gana intuityviai sakyti, kad yra tikimybė, kad vienas iš šešių gausime šeštą skaičių metant kauliuką.
Kai įvykių, kurie gali įvykti, skaičius didėja arba individualių galimybių skaičius yra didelis, ši gana paprasta tikimybės idėja žlunga. Todėl prieš pradedant spręsti sudėtingesnes problemas, jai reikia pateikti tvirtą matematinį apibrėžimą.
Kai įvykių, kurie gali įvykti vienoje situacijoje, skaičius yra didelis, neįmanoma kiekvieno įvykio atskirai vertinti kaip pavyzdyje, kaip mesti kauliuką. Taigi visa įvykių visuma apibendrinama įvedant atsitiktinio dydžio sąvoką. Tai kintamasis, galintis įgyti skirtingų įvykių reikšmes toje konkrečioje situacijoje (arba imties erdvėje). Tai suteikia matematinį prasmę paprastiems situacijos įvykiams ir matematinį įvykio sprendimo būdą. Tiksliau, atsitiktinis kintamasis yra tikrosios vertės funkcija virš imties erdvės elementų. Atsitiktiniai dydžiai gali būti diskretūs arba tęstiniai. Paprastai jie žymimi didžiosiomis anglų abėcėlės raidėmis.
Tikimybių pasiskirstymo funkcija (arba tiesiog tikimybių skirstinys) yra funkcija, priskirianti kiekvieno įvykio tikimybių reikšmes; y., jis pateikia santykį su reikšmių, kurias gali gauti atsitiktinis dydis, tikimybėmis. Tikimybių pasiskirstymo funkcija yra apibrėžta diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams.
Tikimybių tankio funkcija yra ištisinių atsitiktinių dydžių tikimybių pasiskirstymo funkcijos ekvivalentas, suteikia tikimybę, kad tam tikras atsitiktinis kintamasis įgis tam tikrą reikšmę.
Jei X yra diskretusis atsitiktinis kintamasis, funkcija, pateikta kaip f (x)=P (X=x) kiekvienam x diapazone X, vadinama tikimybių pasiskirstymo funkcija. Funkcija gali būti naudojama kaip tikimybių pasiskirstymo funkcija tada ir tik tada, kai funkcija atitinka šias sąlygas.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Funkcija f (x), kuri apibrėžta realiųjų skaičių aibėje, vadinama ištisinio atsitiktinio dydžio X tikimybės tankio funkcija, tada ir tik tada, kai
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx bet kurioms realioms konstantoms a ir b.
Tikimybės tankio funkcija taip pat turėtų atitikti šias sąlygas.
1. f (x) ≥ 0 visiems x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Tikimybių pasiskirstymo funkcija ir tikimybių tankio funkcija naudojamos tikimybių pasiskirstymui imties erdvėje pavaizduoti. Paprastai tai vadinama tikimybių skirstiniais.
Statistiniam modeliavimui išvestos standartinės tikimybių tankio funkcijos ir tikimybių pasiskirstymo funkcijos. Normalusis ir standartinis normalusis skirstinys yra nuolatinių tikimybių skirstinių pavyzdžiai. Binominis skirstinys ir Puasono skirstinys yra diskrečiųjų tikimybių skirstinių pavyzdžiai.
Kuo skiriasi tikimybių pasiskirstymas ir tikimybės tankio funkcija?
• Tikimybių pasiskirstymo funkcija ir tikimybių tankio funkcija yra funkcijos, apibrėžtos imties erdvėje, kad kiekvienam elementui būtų priskirta atitinkama tikimybės reikšmė.
• Tikimybių pasiskirstymo funkcijos yra apibrėžtos diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams, o tikimybių tankio funkcijos apibrėžtos ištisiniams atsitiktiniams dydžiams.
• Tikimybių reikšmių pasiskirstymą (t. y. tikimybių skirstinius) geriausiai atvaizduoja tikimybių tankio ir tikimybių pasiskirstymo funkcijos.
• Tikimybių pasiskirstymo funkcija gali būti pavaizduota kaip reikšmės lentelėje, bet tai neįmanoma tikimybių tankio funkcijai, nes kintamasis yra tęstinis.
• Nubraižyta tikimybių pasiskirstymo funkcija pateikia juostos diagramą, o tikimybių tankio funkcija – kreivę.
• Tikimybių pasiskirstymo funkcijos juostų aukštis/ilgis turi būti pridėtas prie 1, o plotas po tikimybės tankio funkcijos kreive turi būti pridėtas prie 1.
• Abiem atvejais visos funkcijos reikšmės turi būti neneigiamos.
