Atsitiktiniai kintamieji vs tikimybių pasiskirstymas
Statistikos eksperimentai yra atsitiktiniai eksperimentai, kurie gali būti kartojami neribotą laiką su žinomais rezultatais. Su tokiais eksperimentais siejami ir atsitiktiniai dydžiai, ir tikimybių skirstiniai. Kiekvienam atsitiktiniam dydžiui yra susietas tikimybių skirstinys, kurį apibrėžia funkcija, vadinama kaupiamojo pasiskirstymo funkcija.
Kas yra atsitiktinis dydis?
Atsitiktinis kintamasis yra funkcija, kuri statistinio eksperimento rezultatams priskiria skaitines reikšmes. Kitaip tariant, tai funkcija, apibrėžta iš statistinio eksperimento imties erdvės į realiųjų skaičių aibę.
Pavyzdžiui, apsvarstykite atsitiktinį eksperimentą, kai moneta išverčiama du kartus. Galimi rezultatai yra HH, HT, TH ir TT (H – galvos, T – pasakos). Tegul kintamasis X yra eksperimente stebėtų galvų skaičius. Tada X gali turėti reikšmes 0, 1 arba 2, ir tai yra atsitiktinis kintamasis. Čia atsitiktinis kintamasis X susies aibę S={HH, HT, TH, TT} (imties erdvė) su aibe {0, 1, 2} taip, kad HH būtų susieta su 2, HT ir TH yra susietas su 1, o TT yra susietas su 0. Funkcijos žymėjime tai gali būti parašyta kaip X: S → R kur X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 ir X(TT)=0.
Yra dviejų tipų atsitiktiniai dydžiai: diskretieji ir nuolatiniai, atitinkamai galimų reikšmių, kurias gali turėti atsitiktinis kintamasis, skaičius yra skaičiuojamas arba ne. Ankstesniame pavyzdyje atsitiktinis dydis X yra diskretusis atsitiktinis dydis, nes {0, 1, 2} yra baigtinė aibė. Dabar apsvarstykite statistinį eksperimentą, kaip rasti klasės mokinių svorį. Tegu Y yra atsitiktinis dydis, apibrėžtas kaip studento svoris. Y gali įgyti bet kokią realią vertę tam tikrame intervale. Taigi Y yra nuolatinis atsitiktinis kintamasis.
Kas yra tikimybių skirstinys?
Tikimybių skirstinys yra funkcija, apibūdinanti tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis įgaus tam tikras reikšmes.
Funkcija, vadinama kumuliacine pasiskirstymo funkcija (F), gali būti apibrėžta iš realiųjų skaičių aibės į realiųjų skaičių aibę kaip F(x)=P(X ≤ x) (tikimybė, kad X bus mažesnė už arba lygus x) kiekvienam galimam rezultatui x. Dabar X kumuliacinė skirstinio funkcija pirmame pavyzdyje gali būti parašyta kaip F(a)=0, jei a<0; F(a)=0,25, jei 0≤a<1; F(a)=0,75, jei 1≤a<2 ir F(a)=1, jei a≥2.
Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių atveju funkcija gali būti apibrėžta nuo galimų rezultatų aibės iki realiųjų skaičių aibės taip, kad ƒ(x)=P(X=x) (X tikimybė yra lygus x) kiekvienam galimam rezultatui x. Ši konkreti funkcija ƒ vadinama atsitiktinio dydžio X tikimybės masės funkcija. Dabar X tikimybės masės funkcija pirmame konkrečiame pavyzdyje gali būti parašyta kaip ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25, o kitu atveju ƒ(x)=0. Taigi tikimybės masės funkcija kartu su kaupiamojo pasiskirstymo funkcija apibūdins X tikimybės pasiskirstymą pirmame pavyzdyje.
Tęstinių atsitiktinių dydžių atveju funkcija, vadinama tikimybės tankio funkcija (ƒ), gali būti apibrėžta kaip ƒ(x)=dF(x)/dx kiekvienam x, kur F yra kaupiamoji pasiskirstymo funkcija. nuolatinis atsitiktinis dydis. Nesunku pastebėti, kad ši funkcija tenkina ∫ƒ(x)dx=1. Tikimybių tankio funkcija kartu su kumuliacine pasiskirstymo funkcija apibūdina ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymą. Pavyzdžiui, normalusis skirstinys (kuris yra nuolatinis tikimybių skirstinys) aprašomas naudojant tikimybių tankio funkciją ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Kuo skiriasi atsitiktiniai kintamieji ir tikimybių pasiskirstymas?
• Atsitiktinis kintamasis yra funkcija, susiejanti imties erdvės reikšmes su realiuoju skaičiumi.
• Tikimybių skirstinys yra funkcija, susiejanti reikšmes, kurias atsitiktinis kintamasis gali gauti su atitinkama pasireiškimo tikimybe.
