Power Series ir Taylor serijų skirtumas

2024 Autorius: Alex Aldridge | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 13:44

Power Series vs Taylor Series

Matematikoje tikroji seka yra sutvarkytas realiųjų skaičių sąrašas. Formaliai tai yra funkcija nuo natūraliųjų skaičių aibės iki realiųjų skaičių aibės. Jei a_n yra n^th sekos terminas, seką žymime ₁, a ₂, …, a_n, …. Pavyzdžiui, apsvarstykite seką 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Jis gali būti pažymėtas kaip {1/n}.}

Galima apibrėžti seriją naudojant sekas. Serija yra sekos terminų suma. Todėl kiekvienai sekai yra susijusi seka ir atvirkščiai. Jei {a_{n} yra nagrinėjama seka, tada tos sekos sudaryta seka gali būti pavaizduota kaip:}

Taigi, aukščiau pateiktame pavyzdyje susijusi serija yra 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Kaip rodo pavadinimai, galios serija yra ypatinga serijų rūšis ir ji plačiai naudojama skaitinėje analizėje ir susijusiame matematiniame modeliavime. Taylor serija yra speciali galios serija, kuri suteikia alternatyvų ir lengvai manipuliuojamą gerai žinomų funkcijų vaizdavimo būdą.

Kas yra Power serija?

Galų serija yra formos serija

kuris konvergentiškas (galbūt) tam tikram intervalui, kurio centras yra c. Koeficientai a_{ngali būti realieji arba kompleksiniai skaičiai ir nepriklauso nuo x; ty netikras kintamasis.}

Pavyzdžiui, nustatydami a_n=1 kiekvienam n ir c=0, laipsnio seka 1+x+x² +…..+ x^{+… gaunamas. Nesunku pastebėti, kad kai x ε (-1, 1), ši laipsnių eilutė suartėja į 1/(1-x).}

A laipsnių eilutė suartėja, kai x=c. Kitos x reikšmės, kurių laipsnių eilutė suartėja, visada bus atviro intervalo, kurio centras yra c, forma. Tai reiškia, kad bus tokia vertė 0≤ R ≤ ∞, kad kiekvieno x, atitinkančio |x-c|≤ R, laipsnių eilutė yra konvergentiška, o kiekvienos x, atitinkančios |x-c|> R, laipsnių eilutė skiriasi. Ši reikšmė R vadinama laipsnių eilučių konvergencijos spinduliu (R gali būti bet kokia realioji reikšmė arba teigiama begalybė).

Galios serijas galima sudėti, atimti, padauginti ir padalinti taikant šias taisykles. Apsvarstykite dvi galių eilutes:

Tada,

t.y. panašūs terminai pridedami arba atimami kartu. Taip pat galima padauginti ir padalyti dvi laipsnio eilutes naudojant tapatybę

Kas yra Taylor serija?

Taylor serija yra apibrėžta funkcijai f (x), kuri intervale yra be galo diferencijuota. Tarkime, kad f (x) yra diferencijuojamas intervale, kurio centras yra c. Tada laipsnio seka, kurią pateikia

vadinamas Taylor serijos funkcijos f (x) plėtiniu apie c. (Čia f⁽ⁿ⁾ (c) žymi n^{-ąją darinį ties x=c). Skaitmeninėje analizėje baigtinis skaičius šios begalinės išplėtimo terminų naudojamas apskaičiuojant reikšmes taškuose, kuriuose serija konverguoja su pradine funkcija.}

Laikoma, kad funkcija f (x) yra analitinė intervale (a, b), jei kiekvienam x ε (a, b), f (x) Teiloro eilutė suartėja su funkcija f (x). Pavyzdžiui, 1/(1-x) yra analitinė (-1, 1), nes jos Taylor išplėtimas 1+x+x²+….+ x ^{+… susilieja su to intervalo funkcija, o e}x ^{yra visur analitinė, nes Taylor serija e}x ^{susilieja su e} x ^{kiekvienam realiajam skaičiui x.}

Kuo skiriasi Power serijos ir Taylor serijos?

1. Taylor serija yra speciali galių serijų klasė, apibrėžta tik funkcijoms, kurios yra be galo diferencijuojamos tam tikru atviru intervalu.

2. Taylor serija yra specialios formos

kadangi laipsnio eilutė gali būti bet kuri formos serija