Skirtumas tarp Riemann integralo ir Lebesgue integralo

2025 Autorius: Alex Aldridge | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2025-01-23 11:13

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integracija yra pagrindinė skaičiavimo tema. Platesne prasme integraciją galima vertinti kaip atvirkštinį diferenciacijos procesą. Modeliuojant realaus pasaulio problemas, lengva rašyti išraiškas, apimančias išvestines. Esant tokiai situacijai, norint rasti funkciją, kuri davė konkrečią išvestinę, reikia atlikti integravimo operaciją.

Žvelgiant iš kito kampo, integracija yra procesas, kuris apibendrina funkcijos ƒ(x) ir δx sandaugą, kur δx yra tam tikra riba. Štai kodėl integracijos simbolį naudojame kaip ∫. Simbolis ∫ iš tikrųjų yra tai, ką gauname ištempę raidę s, kad būtų nurodyta suma.

Riemann Integral

Apsvarstykite funkciją y=ƒ(x). y integralas tarp a ir b, kur a ir b priklauso aibei x, rašomas kaip _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Tai vadinama apibrėžtuoju vienvertės ir tolydžios funkcijos y=ƒ(x) tarp a ir b integralu. Taip gaunamas plotas po kreive tarp a ir b. Tai dar vadinama Riemano integralu. Riemano integralą sukūrė Bernhardas Riemannas. Tolydžios funkcijos Riemano integralas remiasi Jordano mastu, todėl jis apibrėžiamas ir kaip funkcijos Riemann sumų riba. Realios vertės funkcijai, apibrėžtai uždarame intervale, funkcijos Riemann integralas skaidinio atžvilgiu x₁, x₂, …, x n _{apibrėžta intervale [a, b] ir t}1_{, t}2_{, …, t n}, kur x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 už kiekvienas i ε {1, 2, …, n}, Riemann suma apibrėžiama kaip Σ_{i=o iki n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue yra dar vienas integralo tipas, apimantis daug įvairių atvejų nei Riemann integralas. Lebesgue integralą 1902 m. pristatė Henri Lebesgue. Legesgue integraciją galima laikyti Riemann integracijos apibendrinimu.

Kodėl mums reikia studijuoti kitą integralą?

Panagrinėkime būdingąją funkciją ƒ_{A (x)=}{_{0, jei, x ne ε A}^{1 jei, x ε A} aibėje A. Tada baigtinis tiesinis būdingų funkcijų derinys, kuris apibrėžiamas kaip F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) vadinama paprasta funkcija, jei E} i _{yra išmatuojamas kiekvienam i. F (x) Lebesgue integralas virš E žymimas} E_{∫ ƒ(x)dx. Funkcija F (x) nėra integruojama Riemann. Todėl Lebesgue integralas yra perfrazuotas Riemano integralas, kuris turi tam tikrų apribojimų integruotoms funkcijoms.}

Kuo skiriasi Riemann Integral ir Lebesgue Integral?

· Lebesgue integralas yra Riemann integralo apibendrinimo forma.

· Lebesgue integralas leidžia suskaičiuoti begalybę netolydybių, o Riemann integralas leidžia ribotą skaičių netolydybių.