Asociatyvinis vs komutacinis
Kasdieniame gyvenime turime naudoti skaičius, kai norime ką nors įvertinti. Parduotuvėje, degalinėje ir net virtuvėje turime pridėti, atimti ir padauginti du ar daugiau kiekių. Iš savo praktikos šiuos skaičiavimus atliekame gana lengvai. Niekada nepastebime ir nekeliame klausimų, kodėl atliekame šias operacijas būtent tokiu būdu. Arba kodėl šių skaičiavimų negalima atlikti kitaip. Atsakymas paslėptas tame, kaip šios operacijos apibrėžiamos algebros matematiniame lauke.
Algebroje operacija, apimanti du dydžius (pvz., sudėjimas), apibrėžiama kaip dvejetainė operacija. Tiksliau, tai operacija tarp dviejų elementų iš rinkinio ir šie elementai vadinami „operandu“. Daugelis matematikos operacijų, įskaitant anksčiau minėtas aritmetines ir aibių teorijoje, tiesinėje algebroje ir matematinėje logikoje sutinkamas operacijas, gali būti apibrėžtos kaip dvejetainės operacijos.
Yra taisyklių rinkinys, susijęs su konkrečia dvejetaine operacija. Asociacinės ir komutacinės savybės yra dvi pagrindinės dvejetainių operacijų savybės.
Daugiau apie keičiamąją nuosavybę
Tarkime, kokia nors dvejetainė operacija, žymima simboliu ⊗, atliekama su elementais A ir B. Jei operandų tvarka neturi įtakos operacijos rezultatui, tada sakoma, kad operacija yra komutacinė. y., jei A ⊗ B=B ⊗ A, tada operacija yra komutacinė.
Aritmetinės operacijos sudėties ir daugybos yra komutacinės. Sudėtų arba padaugintų skaičių tvarka galutiniam atsakymui įtakos neturi:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Tačiau padalijimo atveju eilės pakeitimas suteikia kito grįžtamąją vertę, o atėmus pokytis suteikia kito neigiamą. Todėl
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 ir 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 ir 5 ÷ 4=1,25 [šiuo atveju A, B ≠ 1 ir 0
Tiesą sakant, atėmimas yra antikomutacinis; kur A – B=– (B – A).
Be to, loginiai ryšiai, konjunkcija, disjunkcija, implikacija ir ekvivalentiškumas taip pat yra komutatyvūs. Tiesos funkcijos taip pat yra komutacinės. Aibės operacijų sąjunga ir sankirta yra komutacinės. Sudėtis ir vektorių skaliarinė sandauga taip pat yra komutacinės.
Tačiau vektoriaus atimtis ir vektorinė sandauga nėra komutacinė (dviejų vektorių vektorinė sandauga yra antikomutacinė). Matricos sudėtis yra komutacinė, bet daugyba ir atimtis nėra komutacinės.(Dviejų matricų dauginimas gali būti keičiamas ypatingais atvejais, pvz., dauginant matricą iš atvirkštinės arba tapatybės matricos; tačiau tikrai matricos nėra komutacinės, jei matricos nėra vienodo dydžio)
Daugiau apie asociatyviąją nuosavybę
Dvejetainė operacija laikoma asociatyvia, jei vykdymo tvarka neturi įtakos rezultatui, kai yra du ar daugiau operatoriaus atvejų. Apsvarstykite elementus A, B ir C bei dvejetainę operaciją ⊗. Sakoma, kad operacija ⊗ yra asociatyvi, jei
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Iš pagrindinių aritmetinių funkcijų tik sudėjimas ir daugyba yra asociatyvūs.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) × 3=60
Atimtis ir dalyba nėra asociatyvūs;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 ir (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 ir (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Loginių jungčių disjunkcija, konjunkcija ir lygiavertiškumas yra asociatyvūs, taip pat ir rinkinių operacijų sąjunga ir sankirta. Matricos ir vektoriaus pridėjimas yra asociatyvūs. Vektorių skaliarinė sandauga yra asociatyvi, o vektorinė sandauga – ne. Matricos daugyba yra asociatyvi tik ypatingomis aplinkybėmis.
Kuo skiriasi komutacinė ir asocijacinė nuosavybė?
• Tiek asociacinė, tiek komutacinė savybė yra ypatingos dvejetainių operacijų savybės, kai kurios jas tenkina, o kai kurios – ne.
• Šios savybės gali būti matomos daugelyje algebrinių operacijų ir kitų matematikos dvejetainių operacijų formų, pvz., sankirta ir jungtis aibių teorijoje arba loginiai ryšiai.
• Komutacinės ir asociacinės skiriasi tuo, kad komutacinė savybė teigia, kad elementų tvarka nekeičia galutinio rezultato, o asociacinė savybė nurodo, kad operacijos atlikimo tvarka neturi įtakos galutiniam atsakymui..
