Laplasas prieš Furjė transformacijas
Tiek Laplaso, tiek Furjė transformacijos yra integralios transformacijos, kurios dažniausiai naudojamos kaip matematiniai metodai matematiškai modeliuotoms fizinėms sistemoms spręsti. Procesas paprastas. Sudėtingas matematinis modelis konvertuojamas į paprastesnį, išsprendžiamą modelį naudojant integralinę transformaciją. Išsprendus paprastesnį modelį, taikoma atvirkštinė integralinė transformacija, kuri būtų originalaus modelio sprendimas.
Pavyzdžiui, kadangi dauguma fizinių sistemų sukuria diferencialines lygtis, jas galima konvertuoti į algebrines lygtis arba mažesniu laipsniu lengvai išsprendžiamas diferencialines lygtis naudojant integralinę transformaciją. Tada problemą išspręsti bus lengviau.
Kas yra Laplaso transformacija?
Duota tikrojo kintamojo t funkcija f (t), jo Laplaso transformacija apibrėžiama integralu [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (kai tik jis egzistuoja), kuri yra sudėtingo kintamojo s funkcija. Paprastai jis žymimas L { f (t)}. Funkcijos F (s) atvirkštinė Laplaso transformacija laikoma funkcija f (t) tokiu būdu, kad L { f (t)}=F (s), o įprastu matematiniu žymėjimu rašome L-1{ F (s)}=f (t). Atvirkštinė transformacija gali būti unikali, jei nulinės funkcijos neleidžiamos. Galima identifikuoti šiuos du kaip tiesinius operatorius, apibrėžtus funkcijų erdvėje, be to, nesunku pastebėti, kad L -1{ L { f (t)}}=f (t), jei nulinės funkcijos neleidžiamos.
Toliau pateiktoje lentelėje pateikiamos kai kurių dažniausiai pasitaikančių funkcijų Laplaso transformacijos.
Kas yra Furjė transformacija?
Duota tikrojo kintamojo t funkcija f (t), jo Laplaso transformacija apibrėžiama integralu [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (kai tik jis egzistuoja) ir paprastai žymimas F { f (t)}. Atvirkštinė transformacija F -1{ F (α)} pateikiama integralu [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/lateksas]. Furjė transformacija taip pat yra tiesinė ir gali būti laikoma operatoriumi, apibrėžtu funkcijų erdvėje.
Naudojant Furjė transformaciją, pradinę funkciją galima parašyti taip, jei funkcija turi tik baigtinį netolydybių skaičių ir yra visiškai integruojama.
Kuo skiriasi Laplaso ir Furjė transformacijos?
- Funkcijos f (t) Furjė transformacija apibrėžiama kaip [lateksas] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], o jo laplaso transformacija apibrėžiama kaip [lateksas] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Furjė transformacija apibrėžiama tik funkcijoms, apibrėžtoms visiems realiesiems skaičiams, tuo tarpu Laplaso transformacijai nereikia, kad funkcija būtų apibrėžta neigiamų realiųjų skaičių rinkinyje.
- Furjė transformacija yra ypatingas Laplaso transformacijos atvejis. Galima pastebėti, kad abu sutampa esant neneigiamiems realiesiems skaičiams. (t. y. paimkite s Laplaso lygyje iα + β, kur α ir β yra realūs, kad e β=1/ √(2ᴫ))
- Kiekviena funkcija, turinti Furjė transformaciją, turės Laplaso transformaciją, bet ne atvirkščiai.
