Logaritminis vs eksponentinis | Eksponentinė funkcija vs logaritminė funkcija
Funkcijos yra viena iš svarbiausių matematinių objektų klasių, kurios plačiai naudojamos beveik visose matematikos poskyriuose. Kaip rodo jų pavadinimai, ir eksponentinė, ir logaritminė funkcija yra dvi specialios funkcijos.
Funkcija yra ryšys tarp dviejų aibių, apibrėžtų taip, kad kiekvieno pirmojo rinkinio elemento reikšmė, atitinkanti jį antrojo rinkinio, yra unikali. Tegu ƒ yra funkcija, apibrėžta iš aibės A į aibę B. Tada kiekvienam x ϵ A simbolis ƒ(x) žymi unikalią aibės B reikšmę, atitinkančią x. Jis vadinamas x atvaizdu po ƒ. Todėl santykis ƒ iš A į B yra funkcija tada ir tik tada, kai kiekvienam x ϵ A ir y ϵ A, jei x=y, tada ƒ(x)=ƒ(y). Aibė A vadinama funkcijos ƒ domenu ir yra aibė, kurioje funkcija apibrėžta.
Kas yra eksponentinė funkcija?
Eksponentinė funkcija yra funkcija, pateikta ƒ(x)=ex, kur e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) ir yra transcendentinis iracionalusis skaičius. Viena iš funkcijos ypatumų yra ta, kad funkcijos išvestinė yra lygi pati sau; y., kai y=ex, dy/dx=ex Be to, funkcija yra visur nuolat didėjanti funkcija, turinti x ašį kaip asimptotą. Todėl funkcija taip pat yra „vienas su vienu“. Kiekvienam x ϵ R turime tą ex> 0 ir galima parodyti, kad jis yra R + Be to, jis atitinka pagrindinę tapatybę ex+y=exey ir e0 =1. Funkciją taip pat galima pavaizduoti naudojant serijos išplėtimą, pateiktą 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + … + x/n! + …
Kas yra logaritminė funkcija?
Logaritminė funkcija yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos. Kadangi eksponentinė funkcija yra vienas su vienu ir į R +, funkciją g galima apibrėžti iš teigiamų realiųjų skaičių aibės į realiųjų skaičių aibę, pateiktą g(y)=x, tada ir tik tada, y=ex Ši funkcija g vadinama logaritmine funkcija arba dažniausiai natūraliuoju logaritmu. Jis žymimas g(x)=log ex=ln x. Kadangi tai yra atvirkštinė eksponentinė funkcija, jei paimsime eksponentinės funkcijos grafiko atspindį per tiesę y=x, tada turėsime logaritminės funkcijos grafiką. Taigi funkcija yra asimptotinė y ašiai.
Logaritminė funkcija vadovaujasi kai kuriomis pagrindinėmis taisyklėmis, iš kurių svarbiausios yra ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y ir ln xy=y ln x. Tai taip pat didėja ir visur tęsiasi. Todėl jis taip pat yra vienas su vienu. Galima parodyti, kad jis yra R.
Kuo skiriasi eksponentinė ir logaritminė funkcija?
• Eksponentinė funkcija yra ƒ(x)=ex, o logaritminė funkcija yra g(x)=ln x, o pirmoji yra atvirkštinė pastarasis.
• Eksponentinės funkcijos sritis yra realiųjų skaičių rinkinys, o logaritminės funkcijos sritis yra teigiamų realiųjų skaičių rinkinys.
• Eksponentinės funkcijos diapazonas yra teigiamų realiųjų skaičių rinkinys, o logaritminės funkcijos diapazonas yra realiųjų skaičių rinkinys.
