Diskrečioji funkcija prieš nuolatinę funkciją
Funkcijos yra viena iš svarbiausių matematinių objektų klasių, kurios plačiai naudojamos beveik visose matematikos subsrityse. Kaip rodo jų pavadinimai, tiek atskiros, tiek nuolatinės funkcijos yra du specialūs funkcijų tipai.
Funkcija yra ryšys tarp dviejų aibių, apibrėžtų taip, kad kiekvienam pirmojo rinkinio elementui antrojo rinkinio jį atitinkanti reikšmė yra unikali. Tegul f yra funkcija, apibrėžta iš aibės A į aibę B. Tada kiekvienam x ϵ A simbolis f (x) žymi unikalią aibės B reikšmę, atitinkančią x. Jis vadinamas x atvaizdu po f. Todėl santykis f iš A į B yra funkcija, tada ir tik tada, kai kiekvienam xϵ A ir y ϵ A; jei x=y, tai f (x)=f (y). Aibė A vadinama funkcijos f domenu ir yra aibė, kurioje funkcija apibrėžta.
Pavyzdžiui, apsvarstykite ryšį f iš R į R, apibrėžtą f (x)=x + 2 kiekvienam xϵ A. Tai funkcija, kurios sritis yra R, nes kiekvienam realiajam skaičiui x ir y x=y reiškia f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Tačiau santykis g iš N į N, apibrėžtas g (x)=a, kur "a" yra pirminis x veiksnys, nėra funkcija, nes g (6)=3, taip pat g (6)=2.
Kas yra atskiroji funkcija?
Diskrečioji funkcija yra funkcija, kurios domenas yra daugiausia skaičiuojamas. Tiesiog tai reiškia, kad galima sudaryti sąrašą, kuriame būtų visi domeno elementai.
Bet kurį baigtinį rinkinį galima suskaičiuoti daugiausia. Natūraliųjų skaičių aibė ir racionaliųjų skaičių aibė yra daugiausiai skaičiuojamų begalinių aibių pavyzdžiai. Realiųjų skaičių aibė ir neracionaliųjų skaičių aibė daugiausia nesuskaičiuojama. Abu rinkiniai nesuskaičiuojami. Tai reiškia, kad neįmanoma sudaryti sąrašo, kuriame būtų visi tų rinkinių elementai.
Viena iš labiausiai paplitusių diskrečiųjų funkcijų yra faktorinė funkcija. f:N U{0}→N, rekursyviai apibrėžtas f (n)=n f (n-1), kai n ≥ 1 ir f (0)=1, vadinama faktorine funkcija. Stebėkite, kad jo domenas N U{0} yra daugiausia skaičiuojamas.
Kas yra nuolatinė funkcija?
Tegul f yra tokia funkcija, kad kiekvienam k f srityje f (x) → f (k) kaip x → k. Tada f yra nuolatinė funkcija. Tai reiškia, kad f (x) galima savavališkai priartinti prie f (k), padarius x pakankamai artimą k kiekvienam k srityje f.
Apsvarstykite funkciją f (x)=x + 2 ant R. Galima pastebėti, kad kaip x → k, x + 2 → k + 2, tai yra f (x) → f (k). Todėl f yra nuolatinė funkcija. Dabar apsvarstykite g teigiamų realiųjų skaičių g (x)=1, jei x > 0, ir g (x)=0, jei x=0. Tada ši funkcija nėra nuolatinė funkcija, nes g (x) ribos neegzistuoja (taigi ji nėra lygi g (0)), nes x → 0.
Kuo skiriasi diskretinė ir nuolatinė funkcija?
• Diskreti funkcija yra funkcija, kurios domenas daugiausiai yra skaičiuojamas, bet to nebūtinai turi būti nuolatinėse funkcijose.
• Visos ištisinės funkcijos ƒ turi savybę, kad ƒ(x)→ƒ(k) kaip x → k kiekvienam x ir kiekvienam k ƒ srityje, bet taip nėra kai kuriose atskirose funkcijose.
