Integracija prieš diferenciaciją
Integracija ir diferenciacija yra dvi pagrindinės sąvokos skaičiavime, tiriančiame pokyčius. „Calculus“galima pritaikyti įvairiose srityse, pvz., mokslo, ekonomikos ar finansų, inžinerijos ir kt.
Diferencijavimas
Diferencijavimas yra algebrinė išvestinių skaičiavimo procedūra. Funkcijos išvestinė yra kreivės (grafiko) nuolydis arba gradientas bet kuriame taške. Kreivės gradientas bet kuriame taške yra tos kreivės liestinės gradientas tam tikrame taške. Netiesinių kreivių atveju kreivės gradientas gali skirtis skirtinguose ašies taškuose. Todėl sunku apskaičiuoti nuolydį ar nuolydį bet kuriame taške. Diferencijavimo procesas yra naudingas apskaičiuojant kreivės gradientą bet kuriame taške.
Kitas išvestinės priemonės apibrėžimas yra „ypatybės pasikeitimas, palyginti su kitos savybės vieneto pasikeitimu“.
Tegul f(x) yra nepriklausomo kintamojo x funkcija. Jei nepriklausomame kintamajame x sukeliamas nedidelis pokytis (∆x), atitinkamas pokytis ∆f(x) sukeliamas funkcijoje f(x); tada santykis ∆f(x)/∆x yra f(x) kitimo greičio matas x atžvilgiu. Šio santykio ribinė vertė, kadangi ∆x linkęs į nulį, lim∆x→0(f(x)/∆x) vadinama pirmąja funkcijos f(x) išvestine., x atžvilgiu; kitaip tariant, momentinis f(x) pokytis duotame taške x.
Integracija
Integravimas yra apibrėžtojo arba neapibrėžto integralo skaičiavimo procesas. Realiajai funkcijai f(x) ir uždaram intervalui [a, b] realioje tiesėje, apibrėžtasis integralas a∫b f(x), apibrėžiamas kaip plotas tarp funkcijos grafiko, horizontalios ašies ir dviejų vertikalių linijų intervalo galiniuose taškuose. Kai konkretus intervalas nenurodytas, jis vadinamas neapibrėžtu integralu. Apibrėžiamasis integralas gali būti apskaičiuotas naudojant antidarinius.
Kuo skiriasi integravimas ir diferencijavimas?
Skirtumas tarp integravimo ir diferenciacijos yra panašus į skirtumą tarp „kvadratavimo“ir „kvadratinės šaknies paėmimo“. Jei iškelsime teigiamą skaičių kvadratu ir paimsime rezultato kvadratinę šaknį, teigiama kvadratinės šaknies reikšmė bus skaičius, kurį pakėlėte kvadratu. Panašiai, jei integraciją taikote rezultatui, kurį gavote diferencijuodami tęstinę funkciją f(x), ji sugrąžins į pradinę funkciją ir atvirkščiai.
Pavyzdžiui, tegul F(x) yra funkcijos f(x)=x integralas, todėl F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, kur c yra savavališka konstanta. Diferencijuodami F(x) x atžvilgiu gauname F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, todėl F(x) išvestinė yra lygi f(x).
Santrauka
– Diferenciacija apskaičiuoja kreivės nuolydį, o integracija apskaičiuoja plotą po kreive.
– Integravimas yra atvirkštinis diferenciacijos procesas ir atvirkščiai.
