Integracija prieš sumavimą
Aukščiau nei aukštosios mokyklos matematikoje integravimas ir sumavimas dažnai randami atliekant matematinius veiksmus. Atrodo, kad jie naudojami kaip skirtingos priemonės ir įvairiose situacijose, tačiau juos sieja labai glaudūs santykiai.
Daugiau apie Sumation
Sumavimas yra skaičių sekos pridėjimo operacija, kuri dažnai žymima graikiška didžiąja sigmos raide Σ. Jis naudojamas sutrumpinti ir lygus sekos sumai / bendrai sumai. Jie dažnai naudojami serijoms, kurios iš esmės yra sumuojamos begalinės sekos, pavaizduoti. Jie taip pat gali būti naudojami vektorių, matricų arba daugianarių sumai nurodyti.
Paprastai sumuojama verčių diapazonas, kuris gali būti vaizduojamas bendruoju terminu, pvz., serija, kuri turi bendrą terminą. Sumavimo pradžios ir pabaigos taškai yra atitinkamai žinomi kaip apatinė ir viršutinė sumavimo riba.
Pavyzdžiui, sekos a1, a2, a3, a suma. 4, …, an yra a1 + a2 + a 3 + … + an, kurį galima lengvai pavaizduoti naudojant sumavimo žymėjimą kaip ∑ i=1 ai; aš vadinamas sumavimo indeksu.
Sumuojant, remiantis programa, naudojama daug variantų. Kai kuriais atvejais viršutinė ir apatinė riba gali būti nurodytos kaip intervalas arba diapazonas, pvz., ∑1≤i≤100 ai ir ∑i∈[1, 100] ai Arba jis gali būti pateiktas kaip skaičių rinkinys, pvz., ∑i∈P ai, kur P yra apibrėžta aibė.
Kai kuriais atvejais galima naudoti du ar daugiau sigmos ženklų, tačiau juos galima apibendrinti taip; ∑j ∑k ajk =∑j, k a jk.
Be to, sumavimas vadovaujasi daugeliu algebrinių taisyklių. Kadangi įterptoji operacija yra sudėjimas, daugelis bendrų algebros taisyklių gali būti taikomos pačioms sumoms ir atskiriems terminams, pavaizduotiems sumuojant.
Daugiau apie integraciją
Integracija apibrėžiama kaip atvirkštinis diferenciacijos procesas. Tačiau geometriniu požiūriu jis taip pat gali būti laikomas plotu, kurį sudaro funkcijos ir ašies kreivė. Todėl apskaičiavus plotą gaunama apibrėžtojo integralo reikšmė, kaip parodyta diagramoje.
Vaizdo š altinis:
Apibrėžtinio integralo reikšmė iš tikrųjų yra mažų juostelių, esančių kreivės ir ašies viduje, suma. Kiekvienos juostos plotas yra aukštis × plotis nagrinėjamos ašies taške. Plotis yra reikšmė, kurią galime pasirinkti, tarkime, ∆x. O aukštis yra apytikslė funkcijos reikšmė nagrinėjamame taške, tarkime, f (xi). Iš diagramos matyti, kad kuo mažesnės juostelės, tuo geriau juostos tilps apribotoje srityje, taigi geriau apytikslė vertė.
Taigi, apskritai apibrėžtasis integralas I, esantis tarp taškų a ir b (t. y. intervale [a, b], kur a<b), gali būti pateiktas kaip I ≅ f (x1)∆x + f (x2)∆x + ⋯ + f (xn)∆x, kur n yra juostelių skaičius (n=(b-a)/∆x). Šią ploto sumavimą galima lengvai pavaizduoti naudojant sumavimo žymėjimą kaip I ≅ ∑i=1 f (xi)∆x. Kadangi aproksimacija yra geresnė, kai ∆x yra mažesnė, galime apskaičiuoti reikšmę, kai ∆x→0. Todėl tikslinga sakyti, kad I=lim∆x→0 ∑i=1 f (xi)∆x.
Kaip apibendrinant iš aukščiau pateiktos sąvokos, galime pasirinkti ∆x pagal nagrinėjamą intervalą, indeksuotą i (srities plotį pasirenkame pagal padėtį). Tada mes gauname
I=lim∆x→0 ∑i=1 f (x i) ∆xi=a∫b f (x)dx
Tai žinoma kaip funkcijos f (x) Reimano integralas intervale [a, b]. Šiuo atveju a ir b yra žinomi kaip integralo viršutinė ir apatinė riba. Reimano integralas yra pagrindinė visų integravimo metodų forma.
Iš esmės integracija yra ploto sumavimas, kai stačiakampio plotis yra be galo mažas.
Kuo skiriasi integravimas ir sumavimas?
• Sumavimas yra skaičių sekos sumavimas. Paprastai sumavimas pateikiamas tokia forma ∑i=1 ai, kai terminai yra sekoje turi šabloną ir gali būti išreikštas bendruoju terminu.
• Integracija iš esmės yra sritis, kurią riboja funkcijos kreivė, ašis ir viršutinė bei apatinė ribos. Šis plotas gali būti pateiktas kaip daug mažesnių plotų, įtrauktų į apribotą sritį, suma.
• Sumavimas apima atskiras reikšmes su viršutine ir apatine ribomis, o integravimas apima ištisines vertes.
• Integraciją galima interpretuoti kaip specialią sumavimo formą.
• Taikant skaitmeninio skaičiavimo metodus, integravimas visada atliekamas kaip sumavimas.
