Lygiagretainė ir keturkampė
Keturkampiai ir lygiagretainiai yra daugiakampiai, randami Euklido geometrijoje. Lygiagretainė yra ypatingas keturkampio atvejis. Keturkampiai gali būti plokštieji (2D) arba 3 matmenys, o lygiagretainiai visada yra plokštieji.
Keturkampis
Keturkampis yra daugiakampis su keturiomis kraštinėmis. Jis turi keturias viršūnes, o vidinių kampų suma yra 3600 (2π rad). Keturkampiai skirstomi į savaime susikertančias ir paprastus keturkampius. Savarankiškai susikertantys keturkampiai turi dvi ar daugiau kraštinių, kertančių viena kitą, ir mažesnės geometrinės figūros (pvz., keturkampio viduje susidaro trikampiai).
Paprasti keturkampiai taip pat skirstomi į išgaubtus ir įgaubtus keturkampius. Įgaubti keturkampiai turi gretimas puses, sudarančius refleksinius kampus figūros viduje. Paprasti keturkampiai, kurių viduje nėra reflekso kampų, yra išgaubti keturkampiai. Išgaubti keturkampiai visada gali turėti teseliacijų.
Didžioji keturkampių geometrijos dalis pradiniuose lygiuose yra susijusi su išgaubtaisiais keturkampiais. Kai kurie keturkampiai mums labai pažįstami iš pradinių mokyklų laikų. Toliau pateikiama diagrama, rodanti skirtingus išgaubtus keturkampius.
Paralelograma
Lygiagretainė figūra gali būti apibrėžta kaip geometrinė figūra su keturiomis kraštinėmis, kurių priešingos pusės yra lygiagrečios viena kitai. Tiksliau tai yra keturkampis su dviem lygiagrečių kraštinių poromis. Šis lygiagretus pobūdis suteikia lygiagretainiams daug geometrinių charakteristikų.
Keturkampis yra lygiagretainis, jei randamos šios geometrinės charakteristikos.
• Dvi poros priešingų kraštinių yra vienodo ilgio. (AB=DC, AD=BC)
• Dvi priešingų kampų poros yra vienodo dydžio. ([lateksas]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/lateksas])
• Jei gretimi kampai yra papildomi [lateksas]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Viena kitai priešingų kraštinių pora yra lygiagreti ir vienodo ilgio. (AB=DC ir AB∥DC)
• Įstrižainės dalija viena kitą (AO=OC, BO=OD)
• Kiekviena įstrižainė padalija keturkampį į du lygiaverčius trikampius. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Be to, kraštinių kvadratų suma yra lygi įstrižainių kvadratų sumai. Tai kartais vadinama lygiagretainio dėsniu ir plačiai taikoma fizikoje ir inžinerijoje. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Kiekvieną iš aukščiau paminėtų charakteristikų galima naudoti kaip savybes, kai tik nustatoma, kad keturkampis yra lygiagretainis.
Lygiagretainio plotą galima apskaičiuoti vienos kraštinės ilgio ir aukščio į priešingą kraštinę sandauga. Todėl lygiagretainio plotas gali būti nurodytas kaip
Lygiagretainio plotas=pagrindas × aukštis=AB × h
Lygiagretainio plotas nepriklauso nuo atskiro lygiagretainio formos. Tai priklauso tik nuo pagrindo ilgio ir statmeno aukščio.
Jei lygiagretainio kraštinės gali būti pavaizduotos dviem vektoriais, plotą galima gauti pagal dviejų gretimų vektorių vektorinės sandaugos (kryžminės sandaugos) dydį.
Jei kraštinės AB ir AD yra pavaizduotos atitinkamai vektoriais ([lateksas]\overrightarrow{AB}[/latex]) ir ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), lygiagretainis pateikiamas [lateksas]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kur α yra kampas tarp [latekso]\overrightarrow{AB}[/latex] ir [latex]\overright arrow{AD}[/latex].
Toliau pateikiamos kai kurios išplėstinės lygiagretainio savybės;
• Lygiagretainio plotas yra du kartus didesnis už trikampio, sukurto bet kuria iš jo įstrižainių, plotą.
• Lygiagretainio plotas dalinamas per pusę iš bet kurios tiesės, einančios per vidurio tašką.
• Bet kokia neišsigimusi afininė transformacija lygiagretainį perkelia į kitą lygiagretainį
• Lygiagretainio sukimosi simetrija yra 2 eilės
• Atstumų nuo bet kurio lygiagretainio vidinio taško iki kraštinių suma nepriklauso nuo taško vietos
Kuo skiriasi lygiagretainė ir keturkampė?
• Keturkampiai yra daugiakampiai su keturiomis kraštinėmis (kartais vadinami tetrakampiais), o lygiagretainis yra specialus keturkampio tipas.
• Keturkampių kraštinės gali būti skirtingose plokštumose (3d erdvėje), o visos lygiagretainio kraštinės yra toje pačioje plokštumoje (plokštuminė/ 2 matmenų).
• Vidiniai keturkampio kampai gali turėti bet kokią reikšmę (įskaitant reflekso kampus), kad jų suma būtų 3600. Lygiagrečiųjų kampų maksimalus kampas gali būti tik bukas.
• Keturios keturkampio kraštinės gali būti skirtingo ilgio, o priešingos lygiagretainio kraštinės visada yra lygiagrečios viena kitai ir vienodo ilgio.
• Bet kuri įstrižainė padalija lygiagretainį į du lygiagrečius trikampius, o trikampiai, sudaryti iš bendrojo keturkampio įstrižainės, nebūtinai yra sutampa.
