Paralelograma vs stačiakampis
Lygiagretainė ir stačiakampis yra keturkampiai. Šių figūrų geometrija žmogui buvo žinoma tūkstančius metų. Ši tema yra aiškiai aptarta graikų matematiko Euklido knygoje „Elementai“.
Paralelograma
Lygiagretainė figūra gali būti apibrėžta kaip geometrinė figūra su keturiomis kraštinėmis, kurių priešingos pusės yra lygiagrečios viena kitai. Tiksliau tai yra keturkampis su dviem lygiagrečių kraštinių poromis. Šis lygiagretus pobūdis suteikia lygiagretainiams daug geometrinių charakteristikų.
Keturkampis yra lygiagretainis, jei randamos šios geometrinės charakteristikos.
• Dvi poros priešingų kraštinių yra vienodo ilgio. (AB=DC, AD=BC)
• Dvi priešingų kampų poros yra vienodo dydžio. ([lateksas]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/lateksas])
• Jei gretimi kampai yra papildomi [lateksas]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Viena kitai priešingų kraštinių pora yra lygiagreti ir vienodo ilgio. (AB=DC ir AB∥DC)
• Įstrižainės dalija viena kitą (AO=OC, BO=OD)
• Kiekviena įstrižainė padalija keturkampį į du lygiaverčius trikampius. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Be to, kraštinių kvadratų suma yra lygi įstrižainių kvadratų sumai. Tai kartais vadinama lygiagretainio dėsniu ir plačiai taikoma fizikoje ir inžinerijoje. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Kiekvieną iš aukščiau paminėtų charakteristikų galima naudoti kaip savybes, kai tik nustatoma, kad keturkampis yra lygiagretainis.
Lygiagretainio plotą galima apskaičiuoti vienos kraštinės ilgio ir aukščio į priešingą kraštinę sandauga. Todėl lygiagretainio plotas gali būti nurodytas kaip
Lygiagretainio plotas=pagrindas × aukštis=AB × h
Lygiagretainio plotas nepriklauso nuo atskiro lygiagretainio formos. Tai priklauso tik nuo pagrindo ilgio ir statmeno aukščio.
Jei lygiagretainio kraštinės gali būti pavaizduotos dviem vektoriais, plotą galima gauti pagal dviejų gretimų vektorių vektorinės sandaugos (kryžminės sandaugos) dydį.
Jei kraštinės AB ir AD yra pavaizduotos atitinkamai vektoriais ([lateksas]\overrightarrow{AB}[/latex]) ir ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), lygiagretainis pateikiamas [lateksas]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kur α yra kampas tarp [latekso]\overrightarrow{AB}[/latex] ir [latex]\overright arrow{AD}[/latex].
Toliau pateikiamos kai kurios išplėstinės lygiagretainio savybės;
• Lygiagretainio plotas yra du kartus didesnis už trikampio, sukurto bet kuria iš jo įstrižainių, plotą.
• Lygiagretainio plotas dalinamas per pusę iš bet kurios tiesės, einančios per vidurio tašką.
• Bet kokia neišsigimusi afininė transformacija lygiagretainį perkelia į kitą lygiagretainį
• Lygiagretainio sukimosi simetrija yra 2 eilės
• Atstumų nuo bet kurio lygiagretainio vidinio taško iki kraštinių suma nepriklauso nuo taško vietos
Stačiakampis
Keturkampis su keturiais stačiais kampais yra žinomas kaip stačiakampis. Tai ypatingas lygiagretainio atvejis, kai kampai tarp bet kurių dviejų gretimų kraštinių yra stačiakampiai.
Atsižvelgiant į stačiakampio geometriją, be visų lygiagretainio savybių, galima atpažinti ir papildomų charakteristikų.
• Kiekvienas kampas viršūnėse yra stačiu kampu.
• Įstrižainės yra vienodo ilgio ir dalija viena kitą pusiau. Todėl perpjautos atkarpos taip pat yra vienodo ilgio.
• Įstrižainių ilgį galima apskaičiuoti naudojant Pitagoro teoremą:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Ploto formulė sumažinama iki ilgio ir pločio sandaugos.
Stačiakampio plotas=ilgis × plotis
• Stačiakampyje yra daug simetriškų savybių, pvz.;
– Stačiakampis yra ciklinis, kurio visos viršūnės gali būti išdėstytos apskritimo perimetre.
– Tai lygiakampė, kur visi kampai yra lygūs.
– Jis yra izogoninis, kur visi kampai yra toje pačioje simetrijos orbitoje.
– Jis turi ir atspindžio, ir sukimosi simetriją.
Kuo skiriasi lygiagretė ir stačiakampis?
• Lygiagretainė ir stačiakampis yra keturkampiai. Stačiakampis yra ypatingas lygiagretainių atvejis.
• Bet kurio plotą galima apskaičiuoti naudojant formulę bazė × aukštis.
• Atsižvelgiant į įstrižaines;
– Lygiagretainio įstrižainės dalija viena kitą, o lygiagretainį perpus sudaro du lygiagrečius trikampius.
– Stačiakampio įstrižainės yra vienodo ilgio ir dalija viena kitą; perpjautos atkarpos yra vienodo ilgio. Įstrižainės padalija stačiakampį į du lygius stačiuosius trikampius.
• Atsižvelgiant į vidinius kampus;
– Priešingi lygiagretainio vidiniai kampai yra vienodo dydžio. Du gretimi vidiniai kampai yra papildomi
– Visi keturi vidiniai stačiakampio kampai yra stačiakampiai.
• Atsižvelgiant į šonus;
– Lygiagretainio kraštinių suma lygi įstrižainės kvadratų sumai (lygiagretainės dėsnis)
– Stačiakampiuose dviejų gretimų kraštinių kvadratų suma yra lygi įstrižainės galuose kvadratui. (Pitagoro taisyklė)
