Skirtumas tarp aritmetinės sekos ir geometrinės sekos

2024 Autorius: Alex Aldridge | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-17 23:39

Aritmetinė seka prieš geometrinę seką

Skaičių modelių ir jų elgesio tyrimas yra svarbus tyrimas matematikos srityje. Dažnai šie modeliai gali būti matomi gamtoje ir padeda mums paaiškinti jų elgesį moksliniu požiūriu. Aritmetinės sekos ir geometrinės sekos yra du pagrindiniai modeliai, atsirandantys skaičiais ir dažnai randami gamtos reiškiniuose.

Seka yra sutvarkytų skaičių rinkinys. Elementų skaičius sekoje gali būti baigtinis arba begalinis.

Daugiau apie aritmetinę seką (aritmetrinę progresiją)

Aritmetinė seka apibrėžiama kaip skaičių seka su pastoviu skirtumu tarp kiekvieno iš eilės einančio termino. Ji taip pat žinoma kaip aritmetinė progresija.

Aritmetinė seka ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; kur a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d ir taip toliau.}

Jei pradinis terminas yra a₁, o bendras skirtumas yra d, tai sekos n^{th terminas pateikiamas taip;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Toliau nagrinėjant aukščiau pateiktą rezultatą, n^{th terminas taip pat gali būti pateiktas kaip;}

a_n =a_m + (n-m)d, kur a_{m yra atsitiktinis terminas tokia seka, kad n > m.}

Lyginių skaičių rinkinys ir nelyginių skaičių rinkinys yra paprasčiausi aritmetinių sekų pavyzdžiai, kur kiekvienos sekos bendras skirtumas (d) yra 2.

Sekos terminų skaičius gali būti begalinis arba baigtinis. Begaliniu atveju (n → ∞) seka linkusi į begalybę, priklausomai nuo bendro skirtumo (a_{n → ±∞). Jei bendras skirtumas yra teigiamas (d > 0), seka linkusi į teigiamą begalybę, o jei bendras skirtumas yra neigiamas (d < 0), ji linkusi į neigiamą begalybę. Jei terminai yra baigtiniai, seka taip pat yra baigtinė.}

Aritmetinės sekos terminų suma yra žinoma kaip aritmetinė eilutė: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{ir S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] nurodo serija (S}n)

Daugiau apie geometrinę seką (geometrinę progresiją)

Geometrinė seka apibrėžiama kaip seka, kurioje bet kurių dviejų iš eilės einančių narių koeficientas yra konstanta. Tai taip pat žinoma kaip geometrinė progresija.

Geometrinė seka ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; kur a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r ir tt, kur r yra tikrasis skaičius.}

Geometrinę seką lengviau pavaizduoti naudojant bendrą santykį (r) ir pradinį terminą (a). Taigi geometrinė seka ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Bendra n^th terminų forma, pateikta a_n =a₁r ^n-1. (Praradus pradinio termino indeksą ⇒ a_n =ar^n-1)

Geometrinė seka taip pat gali būti baigtinė arba begalinė. Jei terminų skaičius yra baigtinis, seka vadinama baigtine. Ir jei terminai yra begaliniai, seka gali būti begalinė arba baigtinė, priklausomai nuo santykio r. Bendras santykis turi įtakos daugeliui geometrinių sekų savybių.

r > o	0 < r < +1	Seka konverguoja – eksponentinis skilimas, t.y. an → 0, n → ∞
	r=1	Pastovi seka, t.y. an=pastovi
	r > 1	Seka skiriasi – eksponentinis augimas, t.y. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Seka svyruoja, bet susilieja
	r=1	Seka yra kintama ir pastovi, t. y. an=±konstanta
	r < -1	Seka kinta ir skiriasi. y., an → ±∞, n → ∞
r=0	Seka yra nulių eilutė

N. B: Visais aukščiau nurodytais atvejais a₁ > 0; jei a₁ < 0, ženklai, susiję su a_{n, bus apversti.}

Laiko intervalas tarp kamuoliuko atšokimų idealiame modelyje atitinka geometrinę seką ir yra konvergencinė seka.

Geometrinės sekos terminų suma yra žinoma kaip geometrinė serija; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Geometrinių eilučių sumą galima apskaičiuoti naudojant šią formulę.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); kur a yra pradinis narys, o r yra santykis.}

Jei santykis, r ≤ 1, eilutė suartėja. Begalinei eilutei konvergencijos reikšmė pateikiama S_n=a/(1-r)

Kuo skiriasi aritmetinė ir geometrinė seka / progresija?

• Aritmetinėje sekoje bet kurie du iš eilės einantys nariai turi bendrą skirtumą (d), o geometrinėje sekoje bet kurie du iš eilės einantys nariai turi pastovų koeficientą (r).

• Aritmetinėje sekoje terminų kitimas yra tiesinis, t.y., per visus taškus galima nubrėžti tiesią liniją. Geometrinėje eilutėje pokytis yra eksponentinis; arba auga, arba nyksta pagal bendrą santykį.

• Visos begalinės aritmetinės sekos yra skirtingos, o begalinės geometrinės eilutės gali būti besiskiriančios arba konvergencinės.

• Geometrinė eilutė gali rodyti virpesius, jei santykis r yra neigiamas, o aritmetinėje eilutėje svyravimai nerodomi