Stačiakampis prieš ortonormalųjį
Matematikoje du žodžiai stačiakampis ir ortonormalus dažnai vartojami kartu su vektorių rinkiniu. Čia terminas „vektorius“vartojamas ta prasme, kad tai yra vektorinės erdvės elementas – linijinėje algebroje naudojama algebrinė struktūra. Diskutuodami apsvarstysime vidinę sandaugos erdvę – vektorinę erdvę V kartu su vidine sandauga , apibrėžta V.
Pavyzdžiui, vidinės sandaugos atveju erdvė yra visų 3 dimensijų padėties vektorių rinkinys kartu su įprasta taškine sandauga.
Kas yra stačiakampis?
Netuščias vidinės sandaugos erdvės V poaibis S yra stačiakampis, tada ir tik tada, kai kiekvienam atskiram u, v S, [u, v]=0; y., vidinė u ir v sandauga yra lygi nuliniam skaliarui vidinėje sandaugos erdvėje.
Pavyzdžiui, visų 3 dimensijų padėties vektorių rinkinyje tai tolygu sakymui, kad kiekvienai atskirai padėties vektorių p ir q porai S, p ir q yra statmenos viena kitai. (Atminkite, kad vidinė sandauga šioje vektorinėje erdvėje yra taškinė sandauga. Be to, dviejų vektorių taškinė sandauga yra lygi 0 tada ir tik tada, kai abu vektoriai yra statmeni vienas kitam.)
Apsvarstykite aibę S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, kuri yra 3 dimensijų padėties vektorių poaibis. Stebėkite, kad (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0), 5)=0. Vadinasi, aibė S yra stačiakampė. Konkrečiai kalbama, kad du vektoriai yra stačiakampiai, jei jų vidinė sandauga yra 0. Todėl kiekviena Sis vektorių pora yra stačiakampė.
Kas yra ortonormalus?
Netuščias vidinės sandaugos erdvės V poaibis S laikomas ortonormaliu tada ir tik tada, kai S yra stačiakampis ir kiekvienam vektoriui u S, [u, u]=1. Todėl matyti, kad kiekviena ortonormali aibė yra stačiakampė, bet ne atvirkščiai.
Pavyzdžiui, visų 3 dimensijų padėties vektorių rinkinyje tai tolygu sakymui, kad kiekvienai atskirai padėties vektorių p ir q porai S, p ir q yra statmenos vienas kitam, o kiekvienas p S, |p|=1. Taip yra todėl, kad sąlyga [p, p]=1 sumažinama iki p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, kuri yra lygi |p |=1. Todėl, atsižvelgiant į stačiakampę aibę, visada galime sudaryti atitinkamą ortonormalią aibę, padalydami kiekvieną vektorių iš jo dydžio.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} yra ortonormalus visų 3 dimensijų padėties vektorių rinkinio poaibis. Nesunku pastebėti, kad jis buvo gautas padalijus kiekvieną vektorių aibėje S iš jų dydžių.
Kuo skiriasi ortogonalus ir ortonormalus?
- Netuščias vidinės sandaugos erdvės V poaibis S yra stačiakampis, tada ir tik tada, kai kiekvienam atskiram u, v S, [u, v]=0. Tačiau jis yra ortonormalus, jei ir tik jei tenkinama papildoma sąlyga – kiekvienam vektoriui u S, [u, u]=1.
- Bet kuri ortonormali aibė yra stačiakampė, bet ne atvirkščiai.
- Bet kuri stačiakampių aibė atitinka unikalią stačiakampių aibę, tačiau stačiakampių aibė gali atitikti daugelį stačiakampių aibių.
