Išvestinė prieš diferenciaciją
Diferencialiniame skaičiavime funkcijos išvestinė ir diferencialas yra glaudžiai susiję, tačiau turi labai skirtingas reikšmes ir naudojami dviems svarbiems matematiniams objektams, susijusiems su diferencijuojamomis funkcijomis, pavaizduoti.
Kas yra išvestinė priemonė?
Funkcijos išvestinė priemonė matuoja greitį, kuriuo keičiasi funkcijos reikšmė, pasikeitus jos įėjimui. Kelių kintamųjų funkcijose funkcijos reikšmės pokytis priklauso nuo nepriklausomų kintamųjų reikšmių kitimo krypties. Todėl tokiais atvejais pasirenkama konkreti kryptis ir ta kryptimi diferencijuojama funkcija. Ta išvestinė vadinama kryptine išvestine. Dalinės išvestinės yra ypatingos krypties išvestinės.
Vektoriaus reikšmės funkcijos f išvestinė gali būti apibrėžta kaip riba [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \iki 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/lateksas], kad ir kur jis būtų baigtinis. Kaip minėta anksčiau, tai suteikia mums funkcijos f didėjimo greitį vektoriaus u kryptimi. Vienos vertės funkcijos atveju tai sumažinama iki gerai žinomo išvestinės apibrėžimo: [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\iki 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Pavyzdžiui, [lateksas]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateksas] visur skiriasi, o išvestinė yra lygi ribai, [lateksas]\\lim_{h \\į 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateksas], kuris yra lygus [lateksas]3x^{2}+4[/lateksas]. Funkcijų, tokių kaip [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex], išvestiniai egzistuoja visur. Jos atitinkamai lygios funkcijoms [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Tai žinoma kaip pirmoji išvestinė priemonė. Paprastai pirmoji funkcijos f išvestinė žymima f (1) Dabar naudojant šį žymėjimą galima apibrėžti aukštesnės eilės išvestines. [lateksas]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ iki 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] yra antros eilės krypties išvestinė ir žymi n th darinį f (n) už kiekvieną n, [lateksas]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\iki 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], apibrėžia n th išvestinę.
Kas yra skirtumas?
Funkcijos diferencialas reiškia funkcijos pokytį nepriklausomo kintamojo ar kintamųjų pokyčių atžvilgiu. Įprastu žymėjimu tam tikros atskiro kintamojo x funkcijai f bendras 1 eilės df skirtumas gaunamas taip: [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Tai reiškia, kad esant be galo mažam x pokyčiui (t. y. d x), bus f (1)(x)d x pokytis f.
Naudojant ribas, šis apibrėžimas gali būti pateiktas taip. Tarkime, kad ∆ x yra x pokytis savavališkame taške x, o ∆ f yra atitinkamas funkcijos f pokytis. Galima parodyti, kad ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, kur ϵ yra klaida. Dabar riba ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x)) (naudojant anksčiau pateiktą išvestinės apibrėžimą), taigi, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Todėl galima Darykite išvadą, kad ∆ x→ 0 ϵ=0. Dabar, pažymėjus ∆ x→ 0 ∆ f kaip d f ir ∆ x→ 0 ∆ x kaip d x, diferencialo apibrėžimas yra tiksliai gautas.
Pavyzdžiui, funkcijos [lateksas]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateksas] skirtumas yra [lateksas](3x^{2}+4)dx[/lateksas].
Dviejų ar daugiau kintamųjų funkcijų atveju bendras funkcijos skirtumas apibrėžiamas kaip skirtumų suma kiekvieno nepriklausomo kintamojo kryptimis. Matematiškai jis gali būti nurodytas kaip [lateksas]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Kuo skiriasi išvestinė ir diferencinė?
• Išvestinė reiškia funkcijos kitimo greitį, o skirtumas reiškia faktinį funkcijos pokytį, kai pasikeičia nepriklausomas kintamasis.
• Išvestinė yra [lateksas]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/lateksas], bet skirtumas pateikiamas taip: [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
