Diferencijavimas vs išvestinė priemonė
Diferencialiniame skaičiavime išvestinė ir diferenciacija yra glaudžiai susijusios, bet labai skirtingos ir naudojamos dviem svarbioms matematinėms sąvokoms, susijusioms su funkcijomis, atstovauti.
Kas yra išvestinė priemonė?
Funkcijos išvestinė priemonė matuoja greitį, kuriuo keičiasi funkcijos reikšmė, pasikeitus jos įėjimui. Kelių kintamųjų funkcijose funkcijos reikšmės pokytis priklauso nuo nepriklausomų kintamųjų reikšmių kitimo krypties. Todėl tokiais atvejais pasirenkama konkreti kryptis ir ta kryptimi diferencijuojama funkcija. Ta išvestinė vadinama kryptine išvestine. Dalinės išvestinės yra ypatingos krypties išvestinės.
Vektoriaus reikšmės funkcijos f išvestinė gali būti apibrėžta kaip riba [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \iki 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/lateksas], kad ir kur jis būtų baigtinis. Kaip minėta anksčiau, tai suteikia mums funkcijos f didėjimo greitį vektoriaus u kryptimi. Vienos vertės funkcijos atveju tai sumažinama iki gerai žinomo išvestinės apibrėžimo: [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\iki 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Pavyzdžiui, [lateksas]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateksas] visur skiriasi, o išvestinė yra lygi ribai, [lateksas]\\lim_{h \\į 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateksas], kuris yra lygus [lateksas]3x^{2}+4[/lateksas]. Funkcijų, tokių kaip [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex], išvestiniai egzistuoja visur. Jos atitinkamai lygios funkcijoms [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Tai žinoma kaip pirmoji išvestinė priemonė. Paprastai pirmoji funkcijos f išvestinė žymima f (1) Dabar naudojant šį žymėjimą galima apibrėžti aukštesnės eilės išvestines. [lateksas]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ iki 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] yra antros eilės krypties išvestinė ir žymi n th darinį f (n) už kiekvieną n, [lateksas]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\iki 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], apibrėžia n th išvestinę.
Kas yra diferenciacija?
Diferencijavimas yra diferencijuojamos funkcijos išvestinės radimo procesas. D-operatorius, žymimas D, tam tikruose kontekstuose reiškia diferenciaciją. Jei x yra nepriklausomas kintamasis, tada D ≡ d/dx. D-operatorius yra tiesinis operatorius, t. y. bet kurioms dviem diferencijuojamoms funkcijoms f ir g bei konstantai c, toliau nurodytos savybės.
Aš. D (f + g)=D (f) + D (g)
II. D (cf)=cD (f)
Naudojant D-operatorių, kitas su diferencijavimu susijusias taisykles galima išreikšti taip. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 ir D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Pavyzdžiui, kai F(x)=x 2sin x yra diferencijuojamas x atžvilgiu pagal pateiktas taisykles, atsakymas bus 2 x sin x + x2cos x.
Kuo skiriasi diferenciacija ir darinys?• Išvestinė reiškia funkcijos kitimo greitį • Diferencijavimas yra funkcijos išvestinės paieškos procesas. |
