Išvestinė prieš integralą
Diferencijavimas ir integravimas yra dvi pagrindinės Calculus operacijos. Jie turi daug pritaikymų keliose srityse, tokiose kaip matematika, inžinerija ir fizika. Ir išvestinė, ir integralas aptaria mus dominančio fizinio objekto funkcijos ar elgesio elgesį.
Kas yra išvestinė priemonė?
Tarkime, y=ƒ(x) ir x0 yra ƒ srityje. Tada limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx vadinamas momentiniu ƒ pokyčio greičiu ties x0, jei ši riba egzistuoja neribotai. Ši riba taip pat vadinama at išvestine ir žymima ƒ(x).
Funkcijos f išvestinės reikšmė savavališkame funkcijos srities taške x pateikiama limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Tai žymima bet kuria iš šių išraiškų: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Funkcijoms su keliais kintamaisiais apibrėžiame dalinę išvestinę. Funkcijos su keliais kintamaisiais dalinė išvestinė yra jos išvestinė vieno iš tų kintamųjų atžvilgiu, darant prielaidą, kad kiti kintamieji yra konstantos. Dalinės išvestinės simbolis yra ∂.
Geometriškai funkcijos išvestinė gali būti interpretuojama kaip funkcijos ƒ(x) kreivės nuolydis.
Kas yra integralas?
Integracija arba antidiferenciacija yra atvirkštinis diferenciacijos procesas. Kitaip tariant, tai yra pradinės funkcijos radimo procesas, kai pateikiama funkcijos išvestinė. Todėl funkcijos ƒ(x) integralas arba anti-darinys, jei ƒ(x)=F (x) gali būti apibrėžtas kaip funkcija F (x), visiems x, esantiems ƒ(x) srityje.
Išraiška ∫ƒ(x) dx reiškia funkcijos ƒ(x) išvestinę. Jei ƒ(x)=F (x), tai ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, kur C yra konstanta, ∫ƒ(x) dx vadinamas neapibrėžtuoju ƒ(x) integralu.
Bet kuriai funkcijai ƒ, kuri nebūtinai yra neneigiama ir apibrėžta intervale [a, b], a∫b ƒ(x) dx vadinamas apibrėžtuoju integralu ƒ ties [a, b].
Funkcijos ƒ(x) apibrėžtasis integralas a∫bƒ(x) dx gali būti geometriškai interpretuojamas kaip sritis, kurią riboja kreivė ƒ(x), x ašis ir linijos x=a ir x=b.
Kuo skiriasi išvestinė ir integralas?
• Išvestinė yra proceso diferenciacijos rezultatas, o integralas yra proceso integravimo rezultatas.
• Funkcijos išvestinė reiškia kreivės nuolydį bet kuriame taške, o integralas – plotą po kreive.
