Skirtumo lygtis vs diferencialinė lygtis
Gamtos reiškinys gali būti matematiškai apibūdintas daugelio nepriklausomų kintamųjų ir parametrų funkcijomis. Ypač kai jie išreiškiami erdvinės padėties ir laiko funkcija, susidaro lygtys. Funkcija gali keistis pasikeitus nepriklausomiems kintamiesiems arba parametrams. Be galo mažas funkcijos pokytis, kai pakeičiamas vienas iš jos kintamųjų, vadinamas tos funkcijos išvestine.
Diferencialinė lygtis yra bet kokia lygtis, kurioje yra funkcijos išvestiniai ir pati funkcija. Paprasta diferencialinė lygtis yra Niutono antrojo judėjimo dėsnio lygtis. Jei objektas, kurio masė m, juda su pagreičiu „a“ir yra veikiamas jėga F, tada antrasis Niutono dėsnis mums sako, kad F=ma. Čia vėlgi „a“kinta laikui bėgant, „a“galime perrašyti kaip; a=dv/dt; v yra greitis. Greitis yra erdvės ir laiko funkcija, tai yra v=ds/dt; todėl ‘a’=d2s/dt2
Turėdami tai omenyje, antrąjį Niutono dėsnį galime perrašyti kaip diferencialinę lygtį;
'F' kaip v ir t funkcija – F(v, t)=mdv/dt arba
'F' kaip s ir t funkcija – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Yra dviejų tipų diferencialinės lygtys; įprastinė diferencialinė lygtis, sutrumpinta ODE arba dalinė diferencialinė lygtis, sutrumpinta PDE. Įprastoje diferencialinėje lygtyje bus paprastosios išvestinės (tik vieno kintamojo išvestinės). Dalinėje diferencialinėje lygtyje bus diferencialinės išvestinės (daugiau nei vieno kintamojo išvestinės).
pvz. F=m d2s/dt2 yra ODE, tuo tarpu α2 d 2u/dx2=du/dt yra PDE, jis turi t ir x išvestinius.
Skirtumo lygtis yra tokia pati kaip diferencialinė lygtis, bet mes žiūrime į ją skirtingame kontekste. Diferencialinėse lygtyse nepriklausomas kintamasis, pvz., laikas, nagrinėjamas nuolatinės laiko sistemos kontekste. Diskrečiojo laiko sistemoje funkciją vadiname skirtumo lygtimi.
Skirtumo lygtis yra skirtumų funkcija. Nepriklausomų kintamųjų skirtumai yra trijų tipų; skaičių seka, diskreti dinaminė sistema ir kartotinė funkcija.
Skaičių sekoje pakeitimas generuojamas rekursyviai, naudojant taisyklę, susiejančią kiekvieną sekos skaičių su ankstesniais sekos skaičiais.
Skirtumo lygtis diskrečioje dinaminėje sistemoje paima tam tikrą atskirą įvesties signalą ir sukuria išvesties signalą.
Skirtumo lygtis yra kartotinis kartotinės funkcijos žemėlapis. Pvz., y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(y0))), ….yra kartotinės funkcijos seka. F(y0) yra pirmasis y0 iteratas. K-asis iteratas bus pažymėtas fk (y0).
