Vidurkis vs mediana vs režimas
Vidurkis, mediana ir režimas yra pagrindiniai pagrindinės tendencijos matai, naudojami aprašomojoje statistikoje. Jie visiškai skiriasi vienas nuo kito, o atvejai, kai jie naudojami duomenims apibendrinti, taip pat skiriasi.
Reiškia
Aritmetinis vidurkis yra duomenų reikšmių suma, padalyta iš duomenų reikšmių skaičiaus, t. y.
[lateksas]\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+x_{2} +x_{3}+…+x_{n}}{n}[/latex]
Jei duomenys yra iš imties erdvės, jie vadinami imties vidurkiu ([latex]\bar{x} [/latex]), kuris yra aprašomoji imties statistika. Nors tai yra dažniausiai naudojamas aprašomasis imties matas, tai nėra patikima statistika. Jis labai jautrus nuokrypiams ir svyravimams.
Pavyzdžiui, apsvarstykite vidutines konkretaus miesto gyventojų pajamas. Kadangi visos duomenų reikšmės yra sumuojamos ir dalijamos, itin turtingo žmogaus pajamos reikšmingai įtakoja vidurkį. Todėl vidutinės reikšmės ne visada gerai atspindi duomenis.
Be to, kintamo signalo atveju srovė, einanti per elementą, periodiškai kinta nuo teigiamos krypties iki neigiamos ir atvirkščiai. Jei imsime vidutinę srovę, praeinančią per elementą per vieną periodą, tai duos 0, o tai reiškia, kad srovė nepraėjo per elementą, o tai akivaizdžiai netiesa. Todėl ir šiuo atveju aritmetinis vidurkis nėra geras matas.
Aritmetinis vidurkis yra geras rodiklis, kai duomenys paskirstyti tolygiai. Normalaus pasiskirstymo atveju vidurkis yra lygus režimui ir medianai. Ji taip pat turi mažiausią likutį, kai atsižvelgiama į vidutinę kvadratinę paklaidą; todėl geriausia aprašomoji priemonė, kai reikia pateikti duomenų rinkinį vienu skaičiumi.
Mediana
Vidurinio duomenų taško reikšmės, sudėliojus visas duomenų reikšmes didėjančia tvarka, apibrėžiamos kaip duomenų rinkinio mediana. Mediana yra 2-asis kvartilis, 5-asis decilis ir 50-asis procentilis.
• Jei stebėjimų (duomenų taškų) skaičius yra nelyginis, mediana yra stebėjimas tiksliai sąrašo viduryje.
• Jei stebėjimų (duomenų taškų) skaičius yra lygus, mediana yra dviejų vidutinių stebėjimų sąraše vidurkis.
Mediana padalija stebėjimą į dvi grupes; y., grupė (50 %) verčių, didesnės nei mediana, ir grupė (50 %) žemesnių nei mediana. Medianos yra specialiai naudojamos iškreiptuose skirstiniuose ir pateikia duomenis daug geriau nei aritmetinis vidurkis.
Režimas
Režimas yra dažniausiai pasitaikantis skaičius stebėjimų rinkinyje. Duomenų rinkinio režimas apskaičiuojamas surandant kiekvieno rinkinio elemento dažnį.
• Jei jokia reikšmė nepasireiškia daugiau nei vieną kartą, duomenų rinkinys neturi režimo.
• Kitu atveju bet kuri reikšmė, atsirandanti dažniausiai, yra duomenų rinkinio režimas.
Rinkinyje gali būti daugiau nei 1 režimas; todėl režimas nėra unikali duomenų rinkinio statistika. Esant vienodai paskirstymui, yra vienas režimas. Diskretaus tikimybių pasiskirstymo būdas yra taškas, kuriame tikimybės masės funkcija pasiekia aukščiausią tašką. Pateikdami iš aukščiau pateiktų interpretacijų, galime pasakyti, kad globalūs maksimumai yra režimai.
Apsvarstykite galimybę taikyti visas tris priemones toliau nurodytam duomenų rinkiniui.
DUOMENYS: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 14, 14, 15, 15, 15}
Vidurkis=(1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+ 8+ 8+ 9+ 9+ 9+ 9+ 10+ 10+ 10+ 14+ 14+ 15+ 15+ 15) / 25=8,12
Mediana=9 (13-as elementas)
Režimas=9 (9 dažnis=5)
Kuo skiriasi vidurkis, mediana ir režimas?
• Aritmetinis vidurkis yra reikšmių (stebėjimų) suma, padalyta iš stebėjimų skaičiaus. Tai nėra patikima statistika ir labai priklauso nuo normaliojo pasiskirstymo pobūdžio nagrinėjamame skirstinyje. Vienintelis nuokrypis gali sukelti reikšmingą vidurkio pokytį, o reikšmės yra gana klaidinančios. Sąvoka gali būti išplėsta iki geometrinio vidurkio, harmoninio vidurkio, svertinio vidurkio ir pan.
• Mediana yra vidutinės stebėjimų rinkinio reikšmės ir santykinai mažiau jai įtakos turi nuokrypiai. Tai gali būti geras įvertinimas kaip suvestinė statistika labai iškreiptais atvejais.
• Režimas yra dažniausios stebėjimo reikšmės duomenų rinkinyje. Jei pasiskirstymas yra teigiamas iškreiptas, režimas yra į kairę prie medianos, o jei neigiamai iškreiptas, režimas yra į dešinę į medianą.
• Jei teigiamai iškreiptas, vidurkis atitinka medianą; jei neigiamai iškreiptas vidurkis yra į kairę nuo medianos.
• Normaliajame skirstinyje visi trys, vidurkis, režimas ir mediana, yra lygūs.
