Apibrėžtieji ir neapibrėžtieji integralai
Skaičiavimas yra svarbi matematikos šaka, o diferencijavimas atlieka svarbų vaidmenį skaičiavime. Atvirkštinis diferenciacijos procesas yra žinomas kaip integralas, o atvirkštinis yra žinomas kaip integralas, arba paprasčiau tariant, atvirkštinis diferenciacijos procesas suteikia integralą. Remiantis jų gautais rezultatais, integralai skirstomi į dvi klases; apibrėžtieji ir neapibrėžtieji integralai.
Daugiau apie neapibrėžtus integralus
Neapibrėžtas integralas yra labiau bendra integracijos forma ir gali būti interpretuojama kaip nagrinėjamos funkcijos anti-darinys. Tarkime, kad F diferenciacija suteikia f, o f integracija – integralą. Jis dažnai rašomas kaip F(x)=∫ƒ(x)dx arba F=∫ƒ dx, kur ir F, ir ƒ yra x funkcijos, o F yra diferencijuojamas. Aukščiau pateiktoje formoje jis vadinamas Reimano integralu, o gauta funkcija lydi savavališką konstantą. Neapibrėžtas integralas dažnai sukuria funkcijų šeimą; todėl integralas yra neapibrėžtas.
Integralai ir integravimo procesas yra diferencialinių lygčių sprendimo pagrindas. Tačiau, skirtingai nei diferencijavimas, integracija ne visada vyksta pagal aiškią ir standartinę tvarką; kartais sprendimas negali būti aiškiai išreikštas elementaria funkcija. Tokiu atveju analitinis sprendimas dažnai pateikiamas neapibrėžto integralo forma.
Daugiau apie apibrėžtuosius integralus
Apibrėžtieji integralai yra labai vertinami neapibrėžtų integralų atitikmenys, kai integravimo procesas iš tikrųjų sukuria baigtinį skaičių. Jis gali būti grafiškai apibrėžtas kaip plotas, kurį riboja funkcijos ƒ kreivė tam tikrame intervale. Kai integruojama per tam tikrą nepriklausomo kintamojo intervalą, integracija sukuria apibrėžtą reikšmę, kuri dažnai rašoma kaip a∫bƒ(x) dx arba a∫b ƒdx.
Neapibrėžtieji integralai ir apibrėžtieji integralai yra tarpusavyje susiję per pirmą pagrindinę skaičiavimo teoremą, ir tai leidžia apibrėžiamąjį integralą apskaičiuoti naudojant neapibrėžtuosius integralus. Teorema teigia a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a), kur ir F, ir ƒ yra x funkcijos, ir F yra diferencijuotas intervale (a, b). Atsižvelgiant į intervalą, a ir b atitinkamai vadinami apatine ir viršutine riba.
Užuot sustojus tik su realiomis funkcijomis, integravimą galima išplėsti iki sudėtingų funkcijų ir tie integralai vadinami kontūro integralais, kur ƒ yra kompleksinio kintamojo funkcija.
Kuo skiriasi apibrėžtieji ir neapibrėžtieji integralai?
Neapibrėžti integralai reiškia funkcijos priešdarinį ir dažnai funkcijų šeimą, o ne apibrėžtą sprendimą. Apibrėžtiniuose integraluose integravimas duoda baigtinį skaičių.
Neapibrėžti integralai susieja savavališką kintamąjį (taigi ir funkcijų šeimą), o apibrėžtieji integralai turi ne savavališką konstantą, o viršutinę ir apatinę integravimo ribą.
Neapibrėžtas integralas paprastai pateikia bendrą diferencialinės lygties sprendimą.
