Binominis vs normalus paskirstymas
Atsitiktinių dydžių tikimybių skirstiniai vaidina svarbų vaidmenį statistikos srityje. Iš šių tikimybių skirstinių dvinarinis ir normalusis skirstinys yra du dažniausiai pasitaikantys realiame gyvenime.
Kas yra dvinario skirstinys?
Binominis skirstinys yra tikimybės skirstinys, atitinkantis atsitiktinį kintamąjį X, kuris yra baigtinės nepriklausomų taip/ne eksperimentų sekos, kurių kiekvieno sėkmės tikimybė yra p, sėkmės skaičius. Iš X apibrėžimo akivaizdu, kad tai yra diskretusis atsitiktinis kintamasis; todėl binominis skirstinys taip pat yra diskretus.
Paskirstymas žymimas kaip X ~ B (n, p), kur n yra eksperimentų skaičius, o p yra sėkmės tikimybė. Pagal tikimybių teoriją galime daryti išvadą, kad B (n, p) seka tikimybių masės funkciją [lateksas] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/lateksas]. Iš šios lygties galima toliau daryti išvadą, kad numatoma X reikšmė, E(X)=np ir X dispersija, V(X)=np (1- p).
Pavyzdžiui, apsvarstykite atsitiktinį eksperimentą – mesti monetą 3 kartus. Sėkmę apibrėžkite kaip H gavimą, nesėkmę kaip T gavimą, o atsitiktinį kintamąjį X kaip sėkmingų eksperimento skaičių. Tada X ~ B (3, 0,5) ir X tikimybės masės funkcija, pateikta [lateksas] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/lateksas]. Todėl tikimybė gauti bent 2 H yra P(X ≥ 2)=P (X=2 arba X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0,52)(0,51) + 3 C3(0,53)(0,50)=0,375 + 0,125=0,5.
Kas yra normalusis pasiskirstymas?
Normalus skirstinys yra nuolatinis tikimybių pasiskirstymas, apibrėžtas tikimybių tankio funkcija [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/lateksas]. Parametrai [lateksas] \mu ir \\sigma [/latex] žymi dominančios populiacijos vidurkį ir standartinį nuokrypį. Kai [lateksas] \mu=0 ir \\sigma=1 [/latex], pasiskirstymas vadinamas standartiniu normaliuoju pasiskirstymu.
Šis pasiskirstymas vadinamas normaliu, nes dauguma gamtos reiškinių vyksta pagal normalųjį pasiskirstymą. Pavyzdžiui, žmonių IQ paprastai pasiskirsto. Kaip matyti iš grafiko, jis yra vienarūšis, simetriškas viduriui ir varpo formos. Vidurkis, režimas ir mediana sutampa. Plotas po kreive atitinka populiacijos dalį, atitinkančią tam tikrą sąlygą.
Gyventojų dalys intervale [lateksas] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/lateksas], [lateksas] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/lateksas], [lateksas] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/lateksas] yra maždaug 68,2 %, 95,6 % ir 99,8 % atitinkamai.
Kuo skiriasi dvinario ir normalaus skirstiniai?
- Binominis skirstinys yra diskretusis tikimybių skirstinys, o normalusis skirstinys yra tęstinis.
- Tikimybinė dvinario skirstinio masės funkcija yra [lateksas]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], o normalaus skirstinio tikimybės tankio funkcija yra [lateksas] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- Binominis skirstinys tam tikromis sąlygomis apytikslis normalus skirstinys, bet ne atvirkščiai.
