Abipusiai išskirtiniai ir nepriklausomi įvykiai
Žmonės dažnai painioja vienas kitą paneigiančių įvykių sąvoką su nepriklausomais įvykiais. Tiesą sakant, tai yra du skirtingi dalykai.
Tegul A ir B yra bet kokie du įvykiai, susiję su atsitiktiniu eksperimentu E. P(A) vadinamas „A tikimybe“. Panašiai galime apibrėžti B tikimybę kaip P(B), A arba B tikimybę kaip P(A∪B), o A ir B tikimybę kaip P(A∩B). Tada P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Tačiau sakoma, kad du įvykiai yra vienas kitą nesuderinami, jei vieno įvykio įvykis neturi įtakos kitam. Kitaip tariant, jie negali atsirasti vienu metu. Todėl, jei du įvykiai A ir B yra vienas kitą paneigiantys, A∩B=∅, vadinasi, tai reiškia, kad P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Tegul A ir B yra du įvykiai imties erdvėje S. Sąlyginė A tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad įvyko B, žymima P(A | B) ir apibrėžiama kaip; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), pateikta P(B)>0. (kitaip jis neapibrėžtas.)
Įvykis A yra nepriklausomas nuo įvykio B, jei A įvykimo tikimybei neturi įtakos tai, ar B įvyko, ar ne. Kitaip tariant, įvykio B baigtis neturi jokios įtakos įvykio A baigčiai. Todėl P(A | B)=P(A). Panašiai B nepriklauso nuo A, jei P(B)=P(B | A). Taigi galime daryti išvadą, kad jei A ir B yra nepriklausomi įvykiai, tai P(A∩B)=P(A). P(B)
Tarkime, kad sunumeruotas kubas išvyniotas ir išmesta teisinga moneta. Tegul A yra tas įvykis, kuris gauna galvą, o B – įvykis, sukant lyginį skaičių. Tada galime daryti išvadą, kad įvykiai A ir B yra nepriklausomi, nes vieno baigtis neturi įtakos kito baigčiai. Todėl P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Kadangi P(A∩B)≠0, A ir B negali vienas kito neįtraukti.
Tarkime, kad urnoje yra 7 b alti rutuliukai ir 8 juodi rutuliukai. Apibrėžkite įvykį A kaip b alto marmuro piešimą, o įvykį B kaip juodo marmuro piešimą. Darant prielaidą, kad kiekvienas rutuliukas bus pakeistas pažymėjus jo spalvą, tada P(A) ir P(B) visada bus vienodi, nesvarbu, kiek kartų trauksime iš urnos. Rutuliukų pakeitimas reiškia, kad tikimybė nesikeičia nuo piešimo iki piešimo, nesvarbu, kokią spalvą pasirinkome paskutinį kartą. Todėl įvykiai A ir B yra nepriklausomi.
Tačiau jei rutuliukai buvo nupiešti be pakeitimo, viskas pasikeičia. Remiantis šia prielaida, įvykiai A ir B nėra nepriklausomi. Pirmą kartą nubrėžus b altą marmurą, pasikeičia tikimybė, kad antruoju piešiniu bus nupieštas juodas marmuras ir pan. Kitaip tariant, kiekvienas traukimas turi įtakos kitam traukimui, todėl atskiri traukimai nėra nepriklausomi.
Skirtumas tarp abipusiai išskirtinių ir nepriklausomų įvykių
– Abipusis įvykių išskirtinumas reiškia, kad A ir B aibės nesutampa. Įvykių nepriklausomumas reiškia, kad A įvykis neturi įtakos B įvykimui.
– Jei du įvykiai A ir B vienas kitą paneigia, tada P(A∩B)=0.
– Jei du įvykiai A ir B nepriklauso, tada P(A∩B)=P(A). P(B)
