Tiesinės ir netiesinės diferencialinės lygtys
Lygtis, kurioje yra bent vienas diferencialinis koeficientas arba nežinomo kintamojo išvestinė, vadinama diferencialine lygtimi. Diferencialinė lygtis gali būti tiesinė arba netiesinė. Šio straipsnio tikslas – paaiškinti, kas yra tiesinė diferencialinė lygtis, kas yra netiesinė diferencialinė lygtis ir kuo skiriasi tiesinės ir netiesinės diferencialinės lygtys.
Nuo tada, kai XVIII amžiuje matematikai, tokie kaip Niutonas ir Leibnicas, sukūrė skaičiavimą, diferencialinė lygtis suvaidino svarbų vaidmenį matematikos istorijoje. Diferencialinės lygtys yra labai svarbios matematikoje dėl jų taikymo spektro. Diferencialinės lygtys yra kiekvieno modelio, kurį mes kuriame, esmė, kad paaiškintume bet kokį scenarijų ar įvykį pasaulyje, nesvarbu, ar tai būtų fizika, inžinerija, chemija, statistika, finansinė analizė ar biologija (sąrašas yra begalinis). Tiesą sakant, kol skaičiavimas netapo nusistovėjusia teorija, nebuvo prieinami tinkami matematiniai įrankiai įdomioms gamtos problemoms analizuoti.
Gautos lygtys, gautos naudojant konkretų skaičiavimo taikymą, gali būti labai sudėtingos ir kartais neišsprendžiamos. Tačiau yra tokių, kuriuos galime išspręsti, tačiau gali atrodyti panašiai ir klaidinančiai. Todėl, kad būtų lengviau identifikuoti, diferencialinės lygtys skirstomos į kategorijas pagal jų matematinį elgesį. Linijinis ir netiesinis yra viena iš tokių kategorijų. Svarbu nustatyti skirtumą tarp tiesinių ir netiesinių diferencialinių lygčių.
Kas yra tiesinė diferencialinė lygtis?
Tarkime, kad f: X→Y ir f(x)=y, diferencialinė lygtis be netiesinių nežinomos funkcijos y ir jos išvestinių terminų yra žinoma kaip tiesinė diferencialinė lygtis.
Jis nustato sąlygą, kad y negali turėti didesnių indekso terminų, tokių kaip y2, y3, … ir išvestinių, tokių kaip
Jame taip pat negali būti nelinijinių terminų, tokių kaip Sin y, e y ^-2 arba ln y. Tai yra tokia forma:
kur y ir g yra x funkcijos. Lygtis yra n eilės diferencialinė lygtis, kuri yra aukščiausios eilės išvestinės išvestinės vertės indeksas.
Tiesinėje diferencialinėje lygtyje diferencialinis operatorius yra tiesinis operatorius, o sprendiniai sudaro vektorinę erdvę. Dėl sprendinių aibės tiesinio pobūdžio tiesinis sprendinių derinys taip pat yra diferencialinės lygties sprendimas. Tai yra, jei y1 ir y2 yra diferencialinės lygties sprendiniai, tada C1 y 1+ C2 y2 taip pat yra sprendimas.
Lygties tiesiškumas yra tik vienas klasifikacijos parametrų, todėl ją galima suskirstyti į homogenines arba nevienalytes ir įprastas arba dalines diferencialines lygtis. Jei funkcija g=0, tai lygtis yra tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis. Jei f yra dviejų ar daugiau nepriklausomų kintamųjų (f: X, T→Y) ir f(x, t)=y funkcija, tai lygtis yra tiesinė dalinė diferencialinė lygtis.
Diferencialinės lygties sprendimo metodas priklauso nuo diferencialinės lygties tipo ir koeficientų. Lengviausias atvejis atsiranda, kai koeficientai yra pastovūs. Klasikinis pavyzdys šiuo atveju yra antrasis Niutono judėjimo dėsnis ir įvairūs jo pritaikymai. Antrasis Niutono dėsnis sukuria antros eilės tiesinę diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais.
Kas yra netiesinė diferencialinė lygtis?
Lygtys, kuriose yra netiesinių terminų, yra žinomos kaip netiesinės diferencialinės lygtys.
Visos aukščiau pateiktos yra netiesinės diferencialinės lygtys. Netiesines diferencialines lygtis sunku išspręsti, todėl norint gauti teisingą sprendimą, reikia atidžiai ištirti. Dalinių diferencialinių lygčių atveju dauguma lygčių neturi bendro sprendimo. Todėl kiekviena lygtis turi būti traktuojama atskirai.
Navier-Stokes lygtis ir Eulerio lygtis skysčių dinamikoje, Einšteino bendrosios reliatyvumo teorijos lauko lygtys yra gerai žinomos netiesinės dalinės diferencialinės lygtys. Kartais Lagranžo lygties taikymas kintamųjų sistemai gali sukelti netiesinių dalinių diferencialinių lygčių sistemą.
Kuo skiriasi tiesinės ir netiesinės diferencialinės lygtys?
• Diferencialinė lygtis, turinti tik nežinomo arba priklausomo kintamojo ir jo išvestinių tiesinius narius, yra žinoma kaip tiesinė diferencialinė lygtis. Jame nėra termino, kurio priklausomasis indekso kintamasis yra didesnis nei 1, ir jame nėra jo išvestinių kartotinių. Jis negali turėti netiesinių funkcijų, tokių kaip trigonometrinės funkcijos, eksponentinės funkcijos ir logaritminės funkcijos priklausomo kintamojo atžvilgiu. Bet kuri diferencialinė lygtis, kurioje yra pirmiau minėti terminai, yra netiesinė diferencialinė lygtis.
• Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimai sukuria vektorinę erdvę, o diferencialinis operatorius taip pat yra tiesinis operatorius vektorinėje erdvėje.
• Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimai yra santykinai paprastesni ir egzistuoja bendrieji sprendiniai. Netiesinėms lygtims daugeliu atvejų bendras sprendimas neegzistuoja ir sprendimas gali būti specifinis. Dėl to sprendimas yra daug sunkesnis nei tiesinės lygtys.
