Hiperbolė prieš elipsę
Kai kūgis pjaunamas skirtingais kampais, kūgio briaunoje pažymimos skirtingos kreivės. Šios kreivės dažnai vadinamos kūginėmis pjūviais. Tiksliau, kūgio pjūvis yra kreivė, gauta susikertant dešinįjį apskritą kūginį paviršių su plokščiu paviršiumi. Skirtingais susikirtimo kampais pateikiami skirtingi kūginiai pjūviai.
Tiek hiperbolė, tiek elipsė yra kūgio formos, todėl jų skirtumai šiame kontekste lengvai palyginami.
Daugiau apie Elipsę
Kai kūginio paviršiaus ir plokštuminio paviršiaus sankirta sukuria uždarą kreivę, ji vadinama elipsė. Jo ekscentriškumas yra nuo nulio iki vieno (0<e<1). Jis taip pat gali būti apibrėžtas kaip taškų rinkinio vieta plokštumoje, kad atstumų iki taško suma nuo dviejų fiksuotų taškų išliktų pastovi. Šie du fiksuoti taškai yra žinomi kaip „židiniai“. (Atminkite, kad pradinėse matematikos pamokose elipsės brėžiamos naudojant eilutę, pririštą prie dviejų fiksuotų kaiščių, arba stygos kilpą ir du smeigtukus.)
Per židinį einanti linijos atkarpa vadinama pagrindine ašimi, o ašis, statmena pagrindinei ašiai ir einanti per elipsės centrą, vadinama šalutine ašimi. Skersmenys išilgai kiekvienos ašies yra žinomi atitinkamai kaip skersinis skersmuo ir konjugato skersmuo. Pusė pagrindinės ašies yra žinoma kaip pusiau didžioji ašis, o pusė mažosios ašies yra žinoma kaip pusiau mažoji ašis.
Kiekvienas taškas F1 ir F2 yra žinomi kaip elipsės židiniai ir ilgiai F1 + PF2 =2a, kur P yra savavališkas elipsės taškas. Ekscentriškumas e apibrėžiamas kaip santykis tarp atstumo nuo židinio iki savavališko taško (PF 2) ir statmeno atstumo iki savavališko taško nuo krypties (PD). Jis taip pat lygus atstumui tarp dviejų židinių ir pusiau pagrindinės ašies: e=PF/PD=f/a
Bendroji elipsės lygtis, kai pusiau didžioji ir pusiau mažoji ašis sutampa su Dekarto ašimis, pateikiama taip.
x2/a2 + y2/b2=1
Elipsės geometrija turi daug pritaikymų, ypač fizikoje. Saulės sistemos planetų orbitos yra elipsės formos, kurios vienas židinys yra saulė. Antenų ir akustinių prietaisų atšvaitai pagaminti elipsės formos, kad būtų galima pasinaudoti tuo, kad bet kokia spinduliuotė iš židinio susilieja su kitu židiniu.
Daugiau apie hiperbolę
Hiperbolė taip pat yra kūginė dalis, tačiau ji atvira. Terminas „hiperbolė“reiškia dvi atskirtas kreives, parodytas paveikslėlyje. Užuot užsidarę kaip elipsė, hiperbolės rankos ar šakos tęsiasi iki begalybės.
Taškai, kur tarp dviejų šakų yra trumpiausias atstumas, vadinami viršūnėmis. Tiesė, einanti per viršūnes, laikoma pagrindine arba skersine ašimi ir yra viena iš pagrindinių hiperbolės ašių. Du parabolės židiniai taip pat yra pagrindinėje ašyje. Linijos tarp dviejų viršūnių vidurio taškas yra centras, o linijos atkarpos ilgis yra pusiau pagrindinė ašis. Pusiau pagrindinės ašies statmenas bisektorius yra kita pagrindinė ašis, o dvi hiperbolės kreivės yra simetriškos aplink šią ašį. Parabolės ekscentriškumas didesnis už vienetą; e > 1.
Jei pagrindinės ašys sutampa su Dekarto ašimis, bendroji hiperbolės lygtis yra tokios formos:
x2/a2 – y2/b2=1,
kur a yra pusiau pagrindinė ašis, o b yra atstumas nuo centro iki bet kurio židinio.
Hiperbolės, kurių atviri galai atsukti į x ašį, yra žinomos kaip rytų-vakarų hiperbolės. Panašias hiperboles galima gauti ir y ašyje. Jie žinomi kaip y ašies hiperbolės. Tokių hiperbolių lygtis yra
y2/a2 – x2/b2=1
Kuo skiriasi hiperbolė ir elipsė?
• Ir elipsės, ir hiperbolė yra kūginės pjūviai, tačiau elipsė yra uždara kreivė, o hiperbolė susideda iš dviejų atvirų kreivių.
• Todėl elipsės perimetras yra baigtinis, o hiperbolės ilgis yra begalinis.
• Abu yra simetriški aplink savo didžiąją ir mažąją ašį, tačiau krypties padėtis kiekvienu atveju skiriasi. Elipsėje jis yra už pusiau pagrindinės ašies, o hiperbolėje jis yra pusiau didžiojoje ašyje.
• Dviejų kūginių sekcijų ekscentriškumas skiriasi.
0 <eElipse < 1
eHiperbolė > 0
• Bendroji dviejų kreivių lygtis atrodo taip pat, tačiau jos skiriasi.
• Didžiosios ašies statmenas bisektorius kerta kreivę elipsėje, bet ne hiperbolėje.
(Vaizdų š altinis: Vikipedija)
