Gyventojų skaičius ir pavyzdinis standartinis nuokrypis
Statistikoje naudojami keli indeksai, apibūdinantys duomenų rinkinį, atitinkantį jo pagrindinę tendenciją, sklaidą ir iškrypimą. Standartinis nuokrypis yra vienas iš labiausiai paplitusių duomenų sklaidos nuo duomenų rinkinio centro matmenų.
Dėl praktinių sunkumų, tikrinant hipotezę, nebus galima pasinaudoti visos populiacijos duomenimis. Todėl mes naudojame duomenų reikšmes iš imčių, kad padarytume išvadas apie populiaciją. Esant tokiai situacijai, jie vadinami vertintojais, nes jie įvertina populiacijos parametrų reikšmes.
Ypač svarbu darant išvadas naudoti nešališkus įverčius. Laikoma, kad įvertis yra nešališkas, jei jo numatoma vertė yra lygi populiacijos parametrui. Pavyzdžiui, imties vidurkį naudojame kaip nešališką populiacijos vidurkio įvertį. (Matematiškai galima parodyti, kad imties vidurkio laukiama reikšmė yra lygi populiacijos vidurkiui). Vertinant populiacijos standartinį nuokrypį, imties standartinis nuokrypis taip pat yra nešališkas įvertinimas.
Kas yra populiacijos standartinis nuokrypis?
Kai galima atsižvelgti į visų gyventojų duomenis (pavyzdžiui, surašymo atveju), galima apskaičiuoti populiacijos standartinį nuokrypį. Norint apskaičiuoti populiacijos standartinį nuokrypį, pirmiausia apskaičiuojami duomenų reikšmių nuokrypiai nuo populiacijos vidurkio. Nuokrypių kvadratinis vidurkis (vidutinis kvadratinis vidurkis) vadinamas populiacijos standartiniu nuokrypiu.
10 mokinių klasėje galima lengvai rinkti duomenis apie mokinius. Jei hipotezė patikrinama šioje studentų populiacijoje, nereikia naudoti imties verčių. Pavyzdžiui, 10 mokinių svoris (kilogramais) yra 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 ir 79. Tada vidutinis dešimties žmonių svoris (kilogramais) yra (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, tai yra 71 (kilogramais). Tai yra gyventojų vidurkis.
Dabar norėdami apskaičiuoti populiacijos standartinį nuokrypį, apskaičiuojame nuokrypius nuo vidurkio. Atitinkami nuokrypiai nuo vidurkio yra (70–71)=-1, (62–71)=-9, (65–71)=-6, (72–71)=1, (80–71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 ir (79 – 71)=8. Nuokrypio kvadratų suma yra (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Gyventojų standartinis nuokrypis yra √(366/10)=6,05 (kilogramais). 71 yra tikslus vidutinis klasės mokinių svoris ir 6.05 yra tikslus standartinis svorio nuokrypis nuo 71.
Kas yra imties standartinis nuokrypis?
Kai imties (n dydžio) duomenys naudojami visumos parametrams įvertinti, apskaičiuojamas imties standartinis nuokrypis. Pirmiausia apskaičiuojami duomenų reikšmių nuokrypiai nuo imties vidurkio. Kadangi imties vidurkis naudojamas vietoj populiacijos vidurkio (kuris nežinomas), kvadratinio vidurkio imti netikslinga. Siekiant kompensuoti imties vidurkio naudojimą, nuokrypių kvadratų suma dalijama iš (n-1), o ne iš n. Imties standartinis nuokrypis yra kvadratinė šaknis. Matematiniuose simboliuose S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, kur S yra standartinis imties nuokrypis, ẍ yra imties vidurkis, o xi yra duomenų taškai.
Dabar tarkime, kad ankstesniame pavyzdyje populiacija yra visos mokyklos mokiniai. Tada klasė bus tik pavyzdys. Jei vertinime naudojamas šis pavyzdys, imties standartinis nuokrypis bus √(366/9)=6.38 (kilogramais), nes 366 buvo padalintas iš 9, o ne iš 10 (imties dydis). Reikia pastebėti, kad tai nėra tiksli populiacijos standartinio nuokrypio vertė. Tai tik įvertinimas.
Kuo skiriasi visumos standartinis nuokrypis ir imties standartinis nuokrypis?
• Populiacijos standartinis nuokrypis yra tiksli parametro reikšmė, naudojama dispersijai nuo centro matuoti, o imties standartinis nuokrypis yra nešališkas jo įvertinimas.
• Populiacijos standartinis nuokrypis skaičiuojamas, kai žinomi visi duomenys apie kiekvieną populiacijos individą. Kitu atveju apskaičiuojamas imties standartinis nuokrypis.
• Populiacijos standartinis nuokrypis apskaičiuojamas taip: σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n}, kur µ yra populiacijos vidurkis ir n yra populiacijos dydis, bet imties standartinis nuokrypis pateikiamas S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, kur ẍ yra imties vidurkis, o n yra imties dydis.
