Kardinalas prieš eilinį
Kasdieniame mūsų gyvenime skaičių naudojimas įvairiose situacijose gali būti skirtingas. Pavyzdžiui, kai skaičiuojame, kad išsiaiškintume objektų rinkinio dydį, skaičiuojame juos kaip vieną, du, tris ir pan. Kai norime ką nors suskaičiuoti, kad gautume objektų padėties pojūtį, skaičiuojame juos kaip pirmą, antrą, trečią ir pan. Pirmojoje skaičiavimo formoje skaičiai vadinami pagrindiniais skaičiais. Antroje skaičiavimo formoje skaičiai laikomi eiliniais skaičiais. Šiame kontekste sąvokos kardinolas ir eilės yra visiškai lingvistikos reikalas; kardinolas ir eilės yra būdvardžiai.
Tačiau sąvokos išplėtimas į aibes matematikoje atskleidžia daug gilesnę ir platesnę perspektyvą ir negali būti traktuojama paprastai. Šiame straipsnyje pabandysime suprasti pagrindines matematikos kardinalių ir eilinių skaičių sąvokas.
Formalūs kardinalių ir eilės skaičių apibrėžimai pateikti aibių teorijoje. Apibrėžimai yra sudėtingi ir norint juos suprasti tobula prasme, reikia aibių teorijos žinių. Todėl pažvelgsime į keletą pavyzdžių, kad suprastume sąvokas euristiškai.
Apsvarstykite du rinkinius {1, 3, 6, 4, 5, 2} ir {autobusas, automobilis, keltas, traukinys, lėktuvas, sraigtasparnis}. Kiekviename rinkinyje pateikiamas elementų rinkinys, o jei suskaičiuosime elementų skaičių, akivaizdu, kad kiekvienas turi vienodą elementų skaičių, kuris yra 6. Darydami tokią išvadą, mes padarėme vieną rinkinį ir palyginome su kitu, naudodami aibę. numerį. Toks skaičius vadinamas kardinaliuoju skaičiumi. Todėl galime pasakyti, kad kardinalus skaičius yra skaičius, kurį galime naudoti norėdami palyginti baigtinių aibių dydį.
Vėlgi pirmasis skaičių rinkinys gali būti išdėstytas didėjančia tvarka, atsižvelgiant į kiekvieno elemento dydį ir juos lyginant. Užsakymo metu skaičiai laikomi kardinaliais. Taip pat visų neneigiamų sveikųjų skaičių aibė gali būti išdėstyta aibėje; ty {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Tačiau tokiu atveju aibės dydis tampa begalinis, o pateikti jį eilės tvarka neįmanoma. Nesvarbu, kokį didelį skaičių pasirinksite, kad nurodytumėte aibės dydį, vis tiek liks skaičių iš pasirinktos aibės ir kurie yra neneigiami sveikieji skaičiai.
Todėl matematikai šį begalinį kardinolą (kuris yra pirmasis) apibrėžia kaip Aleph-0, parašytą kaip א (pirmoji hebrajų abėcėlės raidė). Formaliai eilinis skaičius yra gerai užsakyto rinkinio užsakymo tipas. Todėl baigtinių aibių eilinis skaičius gali būti pateiktas kardinaliais skaičiais, o begalinių aibių eilinis skaičius suteikiamas tarpribiniais skaičiais, tokiais kaip Aleph-0.
Kuo skiriasi kardinaliniai ir eiliniai skaičiai?
• Kardinalusis skaičius yra skaičius, kurį galima naudoti skaičiuojant arba baigtinės eilės aibės dydžiui nustatyti. Visi pagrindiniai skaičiai yra eilės skaitmenys.
• Eiliniai skaičiai yra skaičiai, naudojami baigtinių ir begalinių aibių dydžiui nurodyti. Baigtinių aibių dydis nurodomas įprastais induistų-arabų algebriniais skaitmenimis, o begalinis aibės dydis – baigtiniais skaičiais.
